Теория напряженного состояния

 

 

Главная

Лекция 3. Теория сложного напряженно-деформированного состояния (НДС) твердого тела

  

Содержание   

Напряжённое и деформированное состояние частицы тела

Основные виды напряжённо-деформированного состояния (НДС)

Общий случай НДС. Обобщённый закон Гука-Коши

Определение напряжений на произвольно ориентированной площадке

Главные оси и главные напряжения в плоских задачах

Главные деформации в плоских задачах

Главные нормальные напряжения и направления в общем случае объёмного напряжённого состояния

Обзор различных типов напряженных состояний

Общее решение кубического уравнения для определения главных напряжений

Эллипсоид напряжений Ламе

Круги напряжений Мора

Напряжения на октаэдрических площадках

Определение удлинений и сдвигов для произвольно направленных волокон

Главные деформации и сдвиги

Общее решение кубического уравнения для определения главных деформаций

Дифференциальные уравнения равновесия Коши

Уравнение совместности деформаций

Кручение призматических стержней произвольного поперечного сечения

Кручение стержня эллиптического сечения

Кручение стержня прямоугольного сечения

Кручение стержня треугольного сечения

Вопросы для самопроверки

 

Напряжённое и деформированное состояние частицы тела

Теория НДС ставит своей задачей определение внутренних напряжений, деформаций и перемещений в различных точках деформируемого твёрдого тела произвольной формы и размеров.

В нагруженном какой-то нагрузкой теле в каждой точке сеченияв общем случае возникают нормальное напряжение , направленное перпендикулярно к сечению, и касательное , лежащее в плоскости сечения. Как известно, через точку можно провести бесконечное количество плоскостей и в этой точке будут напряжения  и , перпендикулярные и лежащие в этих плоскостях. Таким образом, напряженное состояние в точке можно представить совокупностью всех  и , возникающих в ней. Для характеристики напряженного состояния в точке достаточно знать значения нормальных и касательных напряжений на трех взаимно перпендикулярных площадках (будет доказано позднее). Их удобнее представить в виде параллелепипеда с бесконечно малыми гранями. Поскольку расстояние между гранями бесконечно мало, то можно считать, что на противоположных гранях параллелепипеда возникают одинаковые по величине напряжения, но направленные противоположно.

Напряженным состоянием тела в точке называют совокупность нормальных и касательных напряжений, действующих по трем взаимно перпендикулярным площадкам (сечениям), содержащим данную точку.

Отнесём тело к координатным осям x, y, z и выделим мысленно из него материальную частицу в виде параллелепипеда или кубика размерами dx, dy, dz  (рис. 3.1).

а)                                                                        б)

Рис. 3.1

 

Действия отброшенной части тела заменим векторами – напряжениями  и разложим их на составляющие по координатным осям.

где ex, ey, ez  - единичные векторы, направленные вдоль координатных осей x, y, z; - нормальные напряжения,  - касательные напряжения. У касательных напряжений первый индекс указывает на направление его действия, второй индекс – на нормаль к площадке, на которой оно действует. Например,  — это касательное напряжение, действующее на площадке, перпендикулярной оси Х и направленное вдоль оси У. У нормальных напряжений индекс соответствует одновременно как направлению, так и нормали к площадке их действия. На невидимых на рис. 3.1 гранях частицы действуют такие же, но противоположно направленные напряжения.

Совокупность указанных напряжений полностью характеризует напряжённое состояние частицы тела. Эту совокупность записывают в виде квадратной матрицы

и называют тензором напряжений Коши. Система напряжений, приложенных к частице тела, должна удовлетворять условиям равновесия. Первые три условия в проекциях на оси x, y, z дают тождества, т.к. на противоположных гранях мы считаем напряжения равными по величине. Остаётся проверить, обращаются ли в нуль суммы моментов всех сил относительно координатных осей. Составим условие равновесия моментов относительно оси х:

откуда следует . Аналогично можно составить два уравнения равновесия моментов относительно осей y и z. В результате получим соотношения:

которые называют законом парности касательных напряжений: на двух взаимно перепендикулярных площадках составляющие касательных напряжений, ортогональные их общему ребру, равны по величине и направлены оба либо к ребру, либо от него. На основании этого закона тензор-матрица напряжений  является симметричной относительно главной диагонали, состоящей из нормальных напряжений.

Напряжение

называют средним напряжением. Тензор напряжений, для которого , называется тензором–девиатором напряжений.

Напряженное состояние в точке можно представить как сумму состояний: напряженное состояние, в котором все три главные напряжения равны  (всестороннее растяжение или сжатие) и напряженное состояние, на гранях которого нормальные напряжения представляют собой разность  и .

В общем случае тензор напряжений можно разложить на сумму двух тензоров:

Первый из них

носит название шарового тензора напряжений, а второй:

тензора–девиатора или просто девиатора напряжений.

Иногда компоненты девиатора напряжений обозначают:

Шаровой тензор характеризует напряженное состояние всестороннего растяжения – сжатия частицы тела, а девиатор – напряженное состояние её формоизменения.

На каждую частицу тела кроме напряжений действуют объёмные силы:

где Rx, Ry, Rz – проекции этих сил на координатные оси. Каждая вектор-сила   действует на единицу объёма.

На поверхности тела F на каждую единицу её площади могут действовать распределённые силы:

где qx, qy, qz – проекции этих сил.

Если последние действуют на малых площадках контакта  поверхности тела, то их, согласно принципу смягчения граничных условий Сен-Венана, заменяют главными вектором  и моментом  всех сил, действующих на этих малых площадках:

где  - радиус – вектор, проведённый из заданной точки (центра приведения сил) на   до текущей силы .

В результате действия на тело внешних сил  температуры Т каждая точка В совершает перемещение  в новое положение В’. Это перемещение характеризуется направленным отрезком , т.е. вектором  перемещения:

где u, v, w – проекции этого перемещения на координатные оси.

Перемещения  характеризуют деформацию тела в целом. Например, прогибы точек оси балки V и поворот поперечных сечений, проходящих через эти же точки, характеризуют деформацию балки в целом при её изгибе.

Деформация тела складывается из деформации её материальных (физических) частиц, каждая из которых испытывает удлинения   в направлении её рёбер и искажения прямых углов:

между её гранями в каждой из координатных плоскостей (рис. 3.2).

Величины

называют относительными удлинениями или деформациями частиц тела. Половины сдвигов обозначают:

Совокупность шести компонентов деформации полностью характеризует деформированное состояние частицы тела. Эту совокупность запишем в виде квадратной матрицы:

и назовем тензором деформаций Коши.

а)                                                                                  б)

Рис. 3.2

 

Величину

называют средней деформацией.

Если для рассматриваемого тензора деформация , то он называется тензором-девиатором или просто девиатором деформации.

В общем случае  тензор (7) можно разложить на сумму двух тензоров:

Первый из них:

носит название шарового тензора деформации и описывает объёмную деформацию всестороннего растяжения – сжатия.

Второй тензор:

представляет собой тензор-девиатор и характеризует деформацию изменения формы частиц тела.

 

Основные виды напряжённо-деформированного состояния (НДС)

До сих пор мы рассматривли в основном простейшие виды НДС – растяжение – сжатие, плоский чистый сдвиг и их комбинацию (рис. 3.3).

а)                                                          б)                                                            в)

Рис. 3.3

 

Они встречаются при растяжении и сжатии стержня и его кручении, а также при изгибе (рис. 3.4). При растяжении и сжатии (рис. 3.4,а) осевая  и поперечные деформации  определяются законами Гука и Пуассона:

а) Растяжение                                                                             б) Кручение

в) Изгиб

Рис. 3.4

 

При плоском чистом сдвиге (рис. 3.4,б) деформация сдвига

Часто на практике встречаются двухосное растяжение и его комбинация с чистым сдвигом (рис. 3.5).

а)                                                                б)

Рис. 3.5

 

В последнем случае состояние называют плоским напряжённым состоянием. Оно возникает в тонкостенных элементах конструкций, таких как плиты (пластины) и оболочки (рис. 3.6).

При двухосном растяжении деформации в направлениях x и y могут быть найдены на основании законов (11) для одноосного растяжения. Представим  на основании принципа независимости действия сил (напряжений ) в виде суммы деформаций в каждом из направлений x и y от этих сил:

а)                                                                                      б)

Рис. 3.6

 

Для плоского напряжённого состояния (рис. 3.6,б) с учётом (12) получаем:

      

При трёхосном растяжении (рис. 3.7,а) на основании законов (11) аналогичным образом получаем:

а) Трёхосное                                            б) Плоская                          в) Объёмное  напряжённое

растяжение                                         деформация                                        состояние

Рис. 3.7

      

Если сложить соотношения (15), то получим закон упругого изменения объёма:

где  – относительное изменение объёма,            (17)

     модуль объёмной деформации.                                        (18)                                        

На практике часто встречается напряжённое состояние, изображённое на рис. 3.7,б. Оно возникает в удлинённых телах со стеснённой в этих направлениях деформацией. Примером могут служить подпорная стенка, тело плотины, железнодорожный рельс и др. В этих случаях призматическое тело как бы зажато между двумя опорами, а нагрузка вдоль тела остаётся неизменной (рис. 3.8).

а)                                                    б)                                     в)                                     г)

Рис. 3.8

 

Произвольная точка А тела при деформации остаётся лежать в одной плоскости, параллельной плоскости x, y. Напряжённое состояние отличается от плоского тем, что возникает напряжение . Соответствующее деформированное состояние тела носит название плоской деформации. Относительные деформации определяются соотношениями закона Гука, полученные использованием принципа независимости действия сил (напряжений). Накладывая на соотношения (5) при трёхосном растяжении плоский чистый сдвиг с напряжениями , получаем:

Характерным примером возникновения объёмной НДС могут служить контактные задачи. Например, задачи о контакте колёс вагона с рельсами, задача о вдавливании шарика в подшипнике, шаровой опоры в фундамент и др. (рис. 3.9,а).

а)                                                                                         б)

Рис. 3.9

 

Кубик, опущенный в воду (рис. 3.9,б), будет испытывать всестороннее сжатие напряжениями   

где  - удельный вес воды.

Другим близким примером могут служить полупространства, представляющие собой модель грунтовой среды. Слой грунта толщины z оказывает на нижележащие слои давление , где  - удельный вес грунта. Напряжения . Деформации ,  и согласно (12):

откуда

где

называется коэффициентом бокового давления среды. Если =0,5, то  и частица будет испытывать всестороннее сжатие, т.к.:

При этом изменение объёма  так как . Такая среда называется несжимаемой.

 

Общий случай НДС. Обобщённый закон Гука-Коши

Рассмотрим далее общий случай объёмного напряжённо-деформированного состояния (рис. 3.10).

Рис. 3.10

 

Его можно разложить на сумму двух состояний – трёхосное растяжение и сложный сдвиг в трёх координатных плоскостях. На основании принципа независимости действия сил (напряжений), используя (19) и , получаем:

Уравнения (20) можно разрешить относительно напряжений:

где

Коэффициент   называют модулем Коши – Ламе.

Из (20), (21) следует ещё одна форма записи обобщённого закона Коши – Гука в форме трёх законов:

1. Закон упругого изменения объёма

Складывая в (20) относительные удлинения, получаем:

где  - относительное изменение объёма,  - модуль деформации.

2. Закон упругого формоизменения

Составим на основании (20), (23) выражение:

Аналогично можно найти разности . В результате получаем соотношения

представляющие закон упругого формоизменения. Соотношения (24) связывают компоненты девиаторов напряжений и деформаций.

3. Закон упругого упрочнения материала

Величину

называют модулем девиатором напряжений.

Из (24) следует:

Подставляя полученные выражения в (25), находим:

где величина

носит название модуля-девиатора  деформаций. Соотношение (26) выражает собой закон упругого упрочнения материала. В частном случае простого растяжения  и соотношение (26) принимает вид

Таким образом, закон упругого упрочнения (26) с точностью до постоянного множителя  совпадает графически с упругим участком диаграммы растяжения.

 

Определение напряжений на произвольно ориентированной площадке

Рассечём частицу тела около произвольной точки А (рис. 3.11) наклонной плоскостью, направление единичной нормали

к которой определено направляющими косинусами  (рис. 3.11,а). В результате мы получили фигуру четырёхугольник, или тетраэдр. При уменьшении расстояния AN = h до нуля наклонная плоскость пройдёт через точку А. Обозначим площадь наклонной грани через dF, а площади координатных граней . Вектор  на произвольно ориентированной площадке с нормалью v и площадью dF разложим на составляющие:

где  - проекции напряжения на координатные оси.

Проецируя все силы, действующие на тетраэдр, последовательно на оси x, y, z и сокращая на dF, получим:

а)                                                                                             б)

Рис. 3.11

 

Очевидно, что площади координатных граней:

Поэтому после сокращения на dF, получаем формулы

называемые формулами Коши.

Таким образом, проекции вектора напряжений  на произвольно ориентированной площадке с направляющими косинусами  выражается через шесть компонент напряжённого состояния, совокупность которых образует тензор напряжений. При помощи формул Коши (29) можно найти величину полного напряжения:

Вектор напряжений  может быть разложен также на нормальную   и касательную  составляющие:

где t – единичный вектор касательной. Тогда

Выразим нормальное напряжение  через проекции  вектора :

и заменим эти проекции согласно (29). Получим формулу:   

Если единичный касательный вектор

то

где направляющие косинусы вектора t, определяющие направление действия касательного напряжения .

Подставляя в (33) вместо  их выражения (29), получаем:

В частном случае плоской задачи имеем (рис. 3.12):

Из (32), (34) находим:              

 

Рис. 3.12

      

где использованы соотношения

 

 Главные оси и главные напряжения в плоских задачах

Рассмотрим напряжённое состояние, характеризуемое тензором напряжений:

Если , то напряжённое состояние называется плоским. Если , то напряжённое состояние соответствует плоской деформации. Найдём экстремальные значения нормального напряжения  для плоских задач.

Дифференцируя выражение (35) для  по ,  и приравниваем полученный результат к нулю: 

откуда получаем:

Из (36) находим два значения угла  и  (рис. 3.13), определяющие два направления и две площадки, называемые главными.

Рис. 3.13

 

Экстремальные значения напряжений  и  называются главными нормальными напряжениями. На главных площадках касательные напряжения отсутствуют. Поэтому третья площадка, на которой действует нормальное напряжение , будет также главной. Главным будет напряжение .

Так как

то, с учётом (36) из (35), получаем значения главных нормальных напряжений:

Обычно принято главные напряжения нумеровать так, чтобы  

В частном случае чистого сдвига  (рис. 3.14).

Рис. 3.14

 

Из (37) получаем:

В случае растяжения напряжениями  и чистого сдвига напряжениями  имеем:

Если частица отнесена к главным осям (рис. 3.15), то формулы (35) принимают вид

Из (38) видно, что максимальное касательное напряжение по модулю возникает при  т.е. на площадках, наклонённых к главным осям под углом . В этом случае

Рис. 3.15

 

Как видно из (39), на площадке, где действует , нормальное напряжение  отлично от нуля и равно полусумме нормальных напряжений .

 

Главные деформации в плоских задачах

Рассмотрим частицу тела с напряжениями  (рис. 3.16,а). Повернём её на угол  относительно оси z. На гранях такой частицы действуют напряжения  (рис. 3.16,б).

Предположим, что имеет место плоское напряжённое состояние  Тогда, на основании (35), получаем:

Рис. 3.16

 

Заметим, что направление касательного вектора  отличается от  на 900 и поэтому при вычислении  угол  следует заменить на .

Найдём деформации повёрнутой частицы, используя закон Гука для плоских задач:

Из (40), (41) получаем:

Формулы (42) аналогичны (35). Найдём теперь экстремальные (главные) значения деформации. Из условия экстремума:

получаем

Используя выражение (43) находим главные значения деформаций:

Как видно, при использовании закона Гука главные направления тензоров напряжений и деформаций совпадают. Это предположение было сделано Коши. Если 0 (плоская деформация, ), то формулы для главных деформаций  не изменяется.

 

Главные нормальные напряжения и направления в общем случае объёмного напряжённого состояния

Плоские задачи являются частным случаем объёмного напряжённого состояния. Поставим задачу по определению таких площадок, на которых действуют только экстремальные нормальные напряжения, а касательные обращаются в нуль (рис. 3.17). Такие площадки назовём главными, а соответствующие экстремальные значения нормальных напряжений – главными нормальными напряжениями. Будем обозначать их  и считать, что .

Направляющие косинусы нормали  на площадке общего положения удовлетворяют условию

Следовательно, возникает задача об отыскании условного экстремума напряжения  при дополнительном условии (45).

Рис. 3.17

 

Составим функцию Лагранжа:

где  играет роль неопределённых множителей Лагранжа. Найдём безусловный экстремум функции F по переменным . Для этого найдём частные производные по этим переменным и приравняем их к нулю:

Так как  одновременно обратиться в нуль не могут, то система трёх однородных алгебраических уравнений (46) имеет заведомо отличные от нуля решения.

В этом случае определитель системы (46) должен равняться нулю:

Раскрывая определитель (48), приходим к кубическому уравнению для определения трёх главных напряжений :

где коэффициенты:

являются инвариантами тензора напряжений по отношению к преобразованиям координат x, y, z. Все три корня уравнения (49) позволяют найти направляющие косинусы главных направлений напряжённого состояния частицы тела. Поскольку из трёх уравнений (46) только два независимы, то беря, например, два первых уравнения и решая их совместно с (47) относительно  по методу Крамера, получим:

где

В частном случае плоской задачи  и определитель  (48) приводит к уравнению

откуда находим ранее полученную формулу

Полагая в (46)  получим систему уравнений: