Сложное сопротивление

 

 

Главная

 

Лекция 7. Сложное сопротивление

 

Содержание

Основные сведения

Расчет балки, подверженной косому или пространственному изгибу

Определение внутренних усилий при косом изгибе

Определение напряжений при косом изгибе

Определение перемещений при косом изгибе

Изгиб с растяжением или сжатием

Сложный  изгиб (одновременный изгиб призматической балки в главных ее плоскостях)

Внецентренное сжатие или растяжение

Ядро сечения при внецентренном сжатии

Критерии предельного состояния материала при сложном напряженном состоянии. Теории прочности

Гипотезы (теории) прочности

Совместные действия изгиба и кручения стержня

Расчет брусьев прямоугольного сечения на кручение с изгибом

Расчет балок переменного сечения

Вопросы для самопроверки

 

Основные сведения

При простых видах деформации (осевое растяжение или сжатие, сдвиг, кручение, плоский изгиб) в поперечных сечениях возникает только одно внутреннее усилие (продольная или поперечная сила, крутящий или изгибающий момент), за исключением плоского поперечного изгиба. На практике же большинство элементов конструкций и машин подвергается действиям сил, вызывающих одновременно не одну из указанных деформаций, а две и более. Различные комбинации простых деформаций называются сложным сопротивлением.

В общем случае нагружения бруса в его поперечных сечениях действуют шесть компонентов внутренних усилий (N, Qx, Qy, Mx, My, Mкр).

image1411

Рис.7.1

 

Сложный вид деформации можно рассматривать как сумму простых видов, изученных ранее (растяжение, изгиб, кручение), при которых в сечениях элементов конструкций возникал только один внутренний силовой фактор (рис.7.2): нормальная сила N - при растяжении, изгибающий момент Мz - при чистом изгибе, крутящий момент Мx - при кручении. Эти виды нагружения, растяжение, изгиб, кручение, являются простыми.

134

Рис.7.2

 

Основные соотношения, полученные для них, приведены в таблице 7.1

Таблица 7.1

Виды нагружения

Напряжения

Деформации

 

 

Растяжение

.

Условие прочности:

 

 

 

 

Изгиб

Условие прочности:

 

 

 

 

Кручение

Условие прочности:

 

 

 

Но при сложном сопротивлении должен быть применим принцип независимости действия сил (частный случай принципа суперпозиции или наложения, применяемый в механике деформируемого твердого тела).

Напомним формулировку принципа независимости действия сил: напряжение (деформация) от группы сил равно сумме напряжений (деформаций) от каждой силы в отдельности. Он справедлив, если функция и аргумент связаны линейной зависимостью. В задачах механики материалов и конструкций становится неприменимым, если:

- напряжения в какой-либо части конструкции от одной из сил или группы сил превышают предел пропорциональности ;

- деформации или перемещения становятся настолько большими, что нарушается линейная зависимость между ними и нагрузкой.

Например, дифференциальное уравнение изгиба стержня является нелинейным и вытекающая из него зависимость прогиба f от нагрузки Р для консольной балки, изображенной на рис.7.3, а, также является нелинейной (рис.7.3, б). Однако, если прогибы балки невелики (f<<l) настолько, что  (так как ), то дифференциальное уравнение изгиба становится линейным (как видно из рис.7.3, б, начальный участок зависимости Р от f, описываемый этим уравнением, также является линейным).

image002-25
          Рис.7.3. Модели изгиба балки: а) расчетная схема

б) линейное и нелинейное сопротивления

 

Задачи на сложное сопротивление решаются следующим образом. Определяются напряжения и деформации при действии простейших видов деформации, составляющих сложное сопротивление, а затем полученные результаты суммируют, используя при необходимости теории прочности.

На практике одновременное действие всех силовых факторов встречается крайне редко. Чаще приходится иметь дело с более простыми комбинациями нагружений – косой или пространственный изгиб, внецентренное растяжение или сжатие и изгиб с кручением.

 

Расчет балки, подверженной косому или пространственному изгибу

Косым называют изгиб, при котором плоскость действия изгибающего момента, возникающего в сечении, не совпадает ни с одной из главных плоскостей бруса (при этом плоскость действия изгибающего момента обязательно должна проходить через центр тяжести сечения) (рис.7.4).

image1177

Рис.7.4

 

При косом изгибе изогнутая ось представляет собой плоскую кривую, и плоскость, в которой она расположена, не совпадает с плоскостью действия нагрузки. При пространственном изгибе нагрузка приложена в разных плоскостях, деформированная ось является пространственной кривой.

 

Определение внутренних усилий при косом изгибе

15

Рис.7.5

 

При косом изгибе в поперечных сечениях бруса действуют следующие внутренние усилия: Mz, My – изгибающие моменты и Qy, Qz –поперечные (перерезывающие) силы. Это легко показать мысленно рассекая стержень и определяя внутренние усилия при косом изгибе консольной балки под действием сосредоточенной силы F на свободном конце (см. рис.7.5):

Правило знаков для внутренних усилий: изгибающие моменты – положительны, если вызывают растяжение в положительном квадранте координатной системы zOy; поперечные силы – положительны, если под их действием отсеченный элемент поворачивается по часовой стрелке.

Таким образом, косой изгиб может быть представлен как совместное действие двух плоских изгибов в двух взаимно перпендикулярных плоскостях инерции.

Для определения полного изгибающего момента M и полной поперечной силы Q при косом изгибе достаточно определить внутренние усилия для каждого из плоских изгибов в отдельности (то есть Qy, Mz и Qz, My), а затем найти их векторную сумму:

 

Определение напряжений при косом изгибе

Если разложить внешние силы по главным осям инерции Ох и Оу, то получим две системы сил P1x, P2x, …, Pnx и P1y, P2y,..., Pny, каждая изоторых вызывает прямой изгиб с изгибающими моментами соответственно My и Мx (рис.7.6). Применяя принцип независимости действия сил, нормальные напряжения  (рис.7.7) определим как алгебраическую сумму напряжений от Mx и Мy:

Чтобы не связывать себя формальными правилами знаков, слагаемые будем определять по модулю, а знаки ставить по смыслу.

Таким образом, расчет на косой изгиб с применением принципа независимости действия сил сводится к расчету на два прямых изгиба с последующим алгебраическим суммированием напряжений.


 Рис.7.6. Расчетная модель косого изгиба бруса

 

image007-24
Рис.7.7. Связь нормального напряжения с внутренними

изгибающими моментами

 

В случае поперечных сечений, имеющих две оси симметрии и выступающие угловые точки (рис.7.8) с равными по модулю и максимальными одноименными координатами  и    напряжения в этих точках будут равны

Слагаемые в этом выражении рекомендуется определять по модулю, а знаки ставить по смыслу. Например, на рис.7.9 верхний ряд знаков «+» и «—» соответствует напряжениям от Мx, а нижний ряд — от My, и напряжения в этих точках будут равны

 


                      Рис.7.8. Симметричные варианты сечений

 

image013-24
             Рис.7.9. Расстановка знаков от действия моментов

 

Условие прочности для балок из пластичного материала с указанным типом сечений запишется в виде

Касательные напряжения от поперечных сил, если нельзя воспользоваться формулой Журавского, допустимо не учитывать.

При проведении расчетов на прочность условие прочности составля­ется для опасной точки поперечного сечения, т.е. для точки, в которой нормальные напряжения достигают максимальных значений. Самой нагруженной точкой в сечении произвольной формы является точка, наиболее удаленная от нейтральной линии, разделяющей растянутую и сжатую зоны сечения.

В связи с этим, большое значение приобретают вопросы, связанные с определением положения нейтральной линии.

Положив , получим уравнение нейтральной линии.

Так как напряжения в точках поперечного сечения будут пропорциональными расстояниям от нейтральной линии, то  будут возникать в наиболее удаленных от нее точках.

Силовая плоскость – это плоскость действия результирующего момента Мрез (рис.7.10), φ - угол наклона силовой плоскости к вертикали.

Рис.7.10

 

Свойства нейтральной линии

1. Если , то , то есть силовая плоскость и нейтральная линия не являются перпендикулярными.

2. Если , то из (1) следует, что , то есть нейтральная линия и силовая плоскость перпендикулярны. В этом случае стержень испытывает плоский изгиб (примерами таких стержней являются стержни с сечением – круг, кольцо, квадрат).

3. Знак «минус» в формуле (1) указывает, что силовая плоскость и нейтральная линия при косом изгибе проходят через противоположные квадранты.

Для определения опасных точек сечения следует построить касательные к контуру сечения, параллельные нейтральной линии. Точки касания и будут являться опасными (точки A и B на рис.7.11).

Рис.7.11. Положение нейтральной линии при косом изгибе

 

Для некоторых сечений (прямоугольник, двутавр, швеллер и т.п.) наиболее напряженные точки расположены в углах этих сечений, т.е. их  можно найти без определения положения нейтральной линии (рис.7.12).

Рис.7.12. Положение нейтральной линии и опасных точек

сечения при косом изгибе для прямоугольника

 

Условия прочности составляют в зависимости от свойств того материала, из которого изготовлен элемент конструкции (брус).

Для хрупкого материала используют два условия прочности - для опасной точки, где имеет место растяжение (для нашего случая т.A  на рис.7.11), и для точки, где имеет место сжатие (т.B)

Необходимость использования двух условий прочности для хрупкого материала объясняется разными механическими свойствами материала при растяжении и сжатии. Хрупкий материал плохо сопротивляется растяжению и хорошо - сжатию.

Для пластичного материала, который одинаково сопротивляется и растяжению и сжатию, используют одно условие прочности для точки поперечного сечения, где имеют место максимальные по абсолютной величине нормальные напряжения

где z и y - координаты данной точки.

При расчетах на прочность касательными напряжениями от поперечных сил пренебрегают, т.к. их влияние незначительно.

 

Определение перемещений при косом изгибе

Перемещения при косом изгибе определяют по принципу независимости действия сил, т.е. рассчитывают прогибы  и  в направлении главных осей, а величину полного прогиба в любом сечении балки получают геометрическим суммированием: .

Например, для балки, изображенной на рис.7.13, прогиб конца консо­ли определится следующим образом:

Рис.7.13. Перемещение при косом изгибе

 

Направление полного перемещения () определится величиной отношения  (рис.7.13)

Направление полного прогиба при косом изгибе перпендикулярно нейтральной линии и не совпадает с направлением внешней силы (рис.7.13).

При косом изгибе (впрочем, как и при остальных видах нагружения) имеем три задачи расчета на прочность:

1) проверка прочности;

2) подбор сечения [определить Wz (размеры сечения), при заданном отношении Wz/Wy];

3) проверка по несущей способности (определить M).

Порядок проверки прочности балки, работающей в условиях косого или пространственного изгиба, тот же, что и для балки, работающей при плоском поперечном изгибе. Для этого необходимо:

- построить эпюры внутренних усилий (изгибающих моментов). Для построения эпюр внутренних усилий раскладываем нагрузки на вертикальную и горизонтальную составляющие. Вертикальная составляющая вызывает изгиб относительно горизонтальной оси y, горизонтальная – относительно оси z;

- выбрать опасные сечения – это сечения, где имеет место наиболее неблагоприятное сочетание изгибающих моментов;

- в опасных сечениях найти опасные точки – точки с максимальными нормальными напряжениями;

- записать условие прочности в этих точках. Из условия прочности либо подобрать размеры поперечного сечения, либо найти допускаемую нагрузку, либо просто сделать вывод о возможности безопасной эксплуатации конструкции.

Рассмотрим примеры расчета балок на косой изгиб.

 

Пример 1.

Подобрать прямоугольное сечение балки (рис.7.14) при условии, что .

Рис.7.14

 

Решение:

Разложив силу P на две составляющие, действующие по нап­равлению главных осей поперечного сечения балки, определяем опорные реакции и строим эпюры изгибающих моментов Mz и My (рис.7.15). Наибольшие моменты действуют в среднем сечении, где

следовательно, это сечение является опасным.

Рис.7.15. Эпюры изгибающих моментов к примеру 1

 

Для определения положения опасной точки расставим знаки от  и  в угловых точках поперечного сечения балки (рис.7.15).При действии момента  в точках A и D будут иметь место положительные (растя­гивающие) напряжения, а в точках C и B - отрицательные (сжимающие) напряжения. При действии момента  в точках A и C будут иметь место положительные , а в точках B и D - отрицательные. Точки поперечного сечения A и B, в которых действуют нормальные напряжения одного знака, являются опасными; для них и должны составляться условия прочности.

Судя по условию задачи, материал, из которого изготовлена балка, является пластичным ( =160 МПа) и, следовательно, одинаково сопротивляется деформации растяжения и деформации сжатия. Таким образом, точки A и B являются равноопасными, и для них используется одно условие прочности

Вычислим моменты сопротивления сечения при заданном соотношении высоты и ширины

Подставляя в условие прочности выражения для изгибающих моментов и моментов сопротивления, получим:

тогда h=2b=18,04 см.

 

Пример 2.

При установке на опоры двутавровой балки (№ 60: =182 см3, =2560 см3), предназначенной для работы на изгиб в верти­кальной плоскости, совпадающей с плоскостью стенки, была допущена ошибка и стенка двутавра отклонилась от вертикали на угол . Определить связанное с этим увеличение наибольших нормальных напряжений.

Рис.7.16. Появление внутренних изгибающих моментов

при косом изгибе к примеру 2

 

Решение:

Отклонение оси двутавра (ось y) от вертикали привело к возникновению косого изгиба (рис.7.16) и появлению изгибающих моментов  и .

Максимальные напряжения при косом изгибе

так как , то

В случае правильной установки балки, сила P совпадала бы с вертикальной осью балки y, и имел бы место прямой изгиб, изгибающий момент был бы равен M (см. рис.7.16), а напряжения

Таким образом, максимальные напряжения при косом изгибе за счет такого незначительного отклонения от вертикали возрастут на 24,6 %.

 

Изгиб с растяжением (сжатием)

Если нагрузить брус в главной плоскости силой F (рис. 7.16.1,а) под углом α к оси, то в поперечном сечении 1-1 (рис. 7.16.1,б) возникнут два внутренних силовых фактора: нормальная сила N =Fcosα и изгибающий момент Mz = Fxsinα. Следовательно, такое нагружение бруса вызывает сочетание изгиба с растяжением (сжатием).

image706

Рис.7.16.1

 

Считая, что брус обладает большой жесткостью при изгибе (малые величины прогиба бруса), согласно принципу независимости действия сил, можно утверждать, что в любом сечении возникают напряжения растяжения (сжатия):

и напряжения изгиба

Таким образом, суммарные напряжения в любом сечении бруса находят алгебраическим сложением напряжений σN  и σMZ:

При расчетах на прочность исходят из наибольших напряжений, возникающих в любом сечении. В частности, если сечение бруса симметрично относительно нейтральной оси, то

Необходимо учитывать, что в последних двух формулах значения напряжений берутся со  своими знаками плюс или минус.

 

Сложный изгиб (одновременный изгиб призматической  балки в главных ее плоскостях)

 

Пример 3.

Деревянная балка прямоугольного поперечного сечения t×h (рис. 7.16.2) подвергается сложному изгибу. Требуется подобрать размеры сечения из условия прочности по нормальным напряжениям. Допускаемое напряжение [σ] = 12 МПа = 1,2 кН/см2. Отношение поперечных размеров h / = 1,5. Линейные размеры балки и нагрузка даны на рис. 7.16.3.

image218

Рис.7.16.2. Поперечное сечение

 

image232

Рис. 7.16.3. Исходные данные: а – заданная балка; б – расчетная схема

 

Решение.

1. Построение эпюр изгибающих моментов выполняется обычным образом в плоскостях X0Z и Y0Z (рис. 7.16.4).

image237

Рис. 7.16.4. Эпюры изгибающих моментов:

а – в плоскости Y0Z; б – в плоскости X0Z

 

2. В рассматриваемом случае условие прочности имеет вид:

где ,  – абсолютные величины изгибающих моментов в опасных сечениях балки; Wx, Wy – моменты сопротивления относительно главных центральных осей сечения.

Условие прочности преобразуем к виду, удобному для расчета. Моменты сопротивления вычисляются по формулам:

Вынося за скобку слагаемое  и учитывая, что , получим,

откуда размер h выражается как

Опасным является сечение m1 или m2 (рис. 7.16.4, а, б). По сечению m1 получим

В свою очередь по сечению m2

Имеем два результата: сечение m1:  h1 = 15 см; t1 = 15/1,5 = 10 см; сечение m2: h2 = 14,4 см; t2 = 14,4/1,5 = 9,6 см.

Естественно принимаем больший из размеров t × h = 10 × 15 см.

Заметим, что для элементов конструкций из древесины вычисляемые размеры принято, по технологическим соображениям округлять до целых сантиметров в большую сторону. Например, пусть расчетом получены размеры h = 21,3 см, t = 12,6 см. Следует принять h = 22 см, t = 13 см.

3. Построение эпюры нормальных напряжений в опасном сечении m1. Предварительно подсчитаем отношение осевых моментов инерции

Тогда положение нулевой линии в сечении определится как

Угол наклона нулевой линии α031°. Эпюра σ дана на рис. 7.16.5.

Напряжения в опасных точках сечения

image303

Рис. 7.16.5. Эпюра нормальных напряжений σ

и положение нулевой линии

 

Внецентренное сжатие или растяжение

Вторым практически важным случаем сложения деформаций от изгиба и от продольных сил является так называемое внецентренное сжатие или растяжение, вызываемое одними продольными силами. Этот вид нагружения довольно распространен в технике, так как в реальной ситуации почти невозможно приложить растягивающую нагрузку точно в центре тяжести.

Внецентренным растяжением-сжатием называется случай, когда равнодействующая сил, приложенных к отброшенной части стержня, направлена параллельно оси стержня, но не совпадает с этой осью (рис.7.17).

image002

Рис.7.17

 

Внецентренное растяжение (сжатие) испытывают короткие стержни. Все сечения являются равноопасными, поэтому нет необходимости в построении эпюр внутренних силовых факторов.

Представим, что после проведения разреза равнодействующая Р сил действующих на отброшенную часть и приложенная к оставшейся проходит через точку с координатами (xp; yp) в главных центральных осях поперечного сечения (рис. 7.18).

image004

Рис.7.18

 

Приведем силу Р в центр тяжести сечения, т.е. направим вдоль оси стержня (сила N). При этом появятся две пары сил  относительно главных центральных осей (рис.7.19).

image006

Рис.7.19

 

Таким образом, в поперечном сечении стержня при внецентренном растяжении и сжатии возникают три внутренних силовых фактора: нормальная сила N и два изгибающих момента  относительно главных центральных осей поперечного сечения.

Для вычисления нормального напряжения в поперечном сечении в окрестности точки с произвольными координатами x,y воспользуемся принципом независимости действия сил. Будем вычислять нормальное напряжение от каждого внутреннего силового фактора в отдельности и результат сложим.

По этой формуле можно вычислять нормальные напряжения в точках поперечного сечения стержня при совместном действии осевой силы и двух изгибающих моментов. В нашем случае все три внутренних силовых фактора зависят от внецентренно приложенной силы Р (рис.7.19). Подставив соответствующие выражения в (2), получим

Вынесем величину нормального напряжения при осевом растяжении  за скобки

Введем понятие о радиусе инерции относительно оси U

 это такое расстояние от оси U до условной точки, где сосредоточена вся площадь сечения. Тогда момент инерции можно найти по формуле

Применив (3) в выражении , получим

Мы получили формулу нормальных напряжений в поперечном сечении при внецентренном растяжении или сжатии. Если сила растягивающая, то перед скобкой ставится знак плюс, если сила сжимающая, то ставится – минус.

В этой формуле координаты точки, где определяются напряжения входят в первой степени. Следовательно, если величины напряжений откладывать в масштабе в виде аппликат перпендикулярно плоскости поперечного сечения, то концы этих отрезков будут лежать на плоскости, наклоненной к плоскости поперечного сечения. Будем называть эту плоскость плоскостью напряжений. Известно, что две наклоненные плоскости пересекаются по линии. В нашем случае в точках этой линии  - это нулевая линия, которая описывается уравнением

Анализируя (5) можно сделать вывод, что нейтральная линия при внецентренном растяжении и сжатии не проходит через центр тяжести, а отсекает на главных центральных осях отрезки  и . Полагая последовательно в (5) x=0 и y=0, получим

Из формул (6) следуют некоторые закономерности, связывающие положения полюса (т. е. точки приложения силы) и нейтральной линии, которые удобно использовать для анализа решения задачи. Перечислим самые важные из этих закономерностей:

- нейтральная линия всегда расположена в квадранте, противоположном тому, в котором находится полюс (см. рис. 7.20);

- если полюс находится на одной из главных осей, то нейтральная линия перпендикулярна этой оси;

- если полюс приближается к центру тяжести сечения, то нейтральная линия удаляется от него.

- если полюс движется по прямой линии, то нейтральная линия поворачивается вокруг неподвижной точки.

image008

Рис.7.20

 

Для сечений со сложным контуром знание положения нулевой линии очень важно. Вспоминая про понятие плоскость напряжений, можно утверждать, что наибольшие по величине нормальные напряжения возникают в точках поперечного сечения наиболее удаленных от нулевой линии. Если взглянуть на плоскость напряжений вдоль нулевой линии, то она будет видна в виде линии соединяющей аппликаты напряжений, то есть в виде эпюры напряжений, отложенной от линии перпендикулярной нулевой линии (рис.7.20).

Наибольшее растягивающее нормальное напряжение возникает в точке А

а наибольшее сжимающее нормальное напряжение возникает в точке В

Таким образом, при внецентренном растяжении кроме растягивающих нормальных напряжений в поперечном сечении могут возникнуть и сжимающие. При внецентренном сжатии – наоборот.

Если материал стержня одинаково сопротивляется растяжению и сжатию, то условие прочности получает такой вид:

Хрупкий материал обладает различными свойствами в условиях растяжения и сжатия – плохо сопротивляется растяжению и хорошо сжатию, условия прочности составляют для двух точек: где действуют максимальные растягивающие (т. A) и максимальные сжимающие (т. B) напряжения

Для поперечных сечений с выступающими углами, у которых обе главные оси инерции являются осями симметрии (прямоугольник, двутавр и др.)   и  . Поэтому формула упрощается, и мы имеем

Если же материал стержня неодинаково сопротивляется растяжению и сжатию, то необходимо проверить прочность стержня как в растянутой, так и в сжатой зонах.

 

Пример 4.

Чугунный короткий стержень, поперечное сечение которого изображено на рис. 7.21, а = 3 cм, b = 2 см, сжимается продольной силой Р, приложенной в точке А. Допускаемые нормальные напряжения: на сжатие ; на растяжение  МПа.

image382

Рис.7.21

 

Требуется:

1) вычислить наибольшее растягивающее и наибольшее сжимающее напряжения в поперечном сечении, выразив величины этих напряжений через Р и размеры сечения;

2) найти допускаемую нагрузку (Р) при заданных размерах сечения и допускаемых напряжениях чугуна на сжатие  и на растяжение .

Решение.

Нормальное напряжение в произвольной точке сечения стержня, определяемой координатами х и у, запишется в виде

где хр, ур - координаты точки приложения силы Р (точки A); F -площадь поперечного сечения стержня; Jxc, Jyc - главные моменты инерции сечения.

1. Определим координаты центра тяжести сечения хс и ус. Для этого выведем вспомогательную систему координат хоу. Тогда , где  - статический момент сечения: . Индексы 1, 2, 3 относятся соответственно к элементарным фигурам, на которые разбито заданное составное сечение (см. рис. 7.22). Отметим также, что площадь первой фигуры следует брать со знаком минус.

 

 

Рис. 7.22

 

Подставляя исходные данные, получим:

Тогда

Ввиду симметрии сечения у = 2b = 4 см. Через найденный центр тяжести проводим главные центральные оси хс и ус.

2. Вычислим главные моменты инерции.

Ввиду совпадения осей хс и хс1, хс2, хс3:

Для вычисления момента инерции относительно оси ус используем формулу изменения момента инерции при параллельном переносе осей:

Здесь через l1, l2, l3 обозначены: соответственно расстояния между осью ус и осями ус1, ус2, ус3.

3. Нахождение наибольших напряжений и допускаемых нагрузок.

Подставляя в формулу (10) вычисленные значения моментов инерции, а также координаты точки приложения нагрузки и точек, где возникают наибольшие растягивающие и сжимающие напряжения, получим:

В точке А(-4,136; 4) - напряжение сжатия

Из условия прочности при сжатии

множитель 104 здесь переводит квадратные, сантиметры в метры. Допускаемая нагрузка

В точке D (3,864;-2) возникает максимальное напряжение растяжения

Из условия прочности при растяжении

Допускаемая нагрузка

Выбирая меньшую из двух нагрузок, окончательно принимаем

В ходе решения этой задачи можно также порекомендовать построение нейтральной оси в случаях, когда трудно сразу определить координаты опасных точек. Для определения положения опасных точек в сечении следует параллельно нейтральной оси провести линии, касающиеся контура сечения. Таким образом, будут найдены точки сечения, расположенные по oбe стороны от нейтральной оси и наиболее удаленные от нeё, которые и являются опасными.

 

Пример 5.

Стальная полоса шириной H=10 см и толщиной t=1 см, центрально растянутая силами P=70 кН, имеет прорезь шириной h=3 см (рис. 7.23). Определить наибольшие нормальные напряжения в сечении AB, не учитывая концентрации напряжений. Какой ширины h могла бы быть прорезь при той же величине растягивающего усилия, если бы она была расположена посередине ширины полосы?

Рис.7.23

 

Решение.

При несимметричной прорези центр тяжести ослабленного сечения смещается от линии действия силы вправо и возникает внецентренное растяжение. Для определения положения центра тяжести () ослабленное сечение представим как большой прямоугольник размерами  (фигура I) из которого удален малый прямоугольник с размерами  (фигура II). За исходную ось примем ось x.

В этом случае в поперечном сечении AB возникает два внутренних силовых фактора: продольная сила N=P и изгибающий момент

С целью определения опасной точки расставим знаки напряжений по боковым сторонам поперечного сечения (рис. 7.23). От продольной силы во всех точках сечения имеют место положительные (растягивающие) напряжения. От изгибающего момента слева от оси  имеют место растягивающие напряжения (знак плюс), справа – сжимающие (знак минус).

Таким образом, максимальные нормальные напряжения возникают в т.A

где   - площадь ослабленного сечения, равная 7 см2;

 - момент инерции ослабленного сечения относительно главной центральной оси .

 - расстояние от нейтральной линии () до наиболее удаленной точки (т. A)

 см.

В результате максимальные нормальные напряжения будут равны

При симметричной прорези шириной h1 возникает только растяжение

тогда

 

Ядро сечения при внецентренном сжатии

При конструировании стержней из материалов, плохо сопротивляющихся растяжению (бетон), весьма желательно добиться того, чтобы все сечение работало лишь на сжатие. Этого можно достигнуть, не давая точке приложения силы Р слишком далеко отходить от центра тяжести сечения, ограничивая величину эксцентриситета.

Конструктору желательно заранее знать, какой эксцентриситет при выбранном типе сечения можно допустить, не рискуя вызвать в сечениях стержня напряжений разных знаков. Здесь вводится понятие о так называемом ядре сечения. Этим термином обозначается некоторая область вокруг центра тяжести сечения, внутри которой можно располагать точку приложения силы Р, не вызывая в сечении напряжений разного знака.

Рис. 7.24 поясняет данное определение ядра сечения.

Рис.7.24

 

При приложении силы Р в точке на границе ядра сечения с координатами (xя; yя) нулевая линия будет касательной к контуру поперечного сечения в точке В (рис.7.25) и отсекать на главных центральных осях отрезки  и .

image012

Рис. 7.25

 

Применяя (6), получим

Формулы  (11) описывают алгоритм вычисления координат точек границы ядра сечения:

1) Проводится касательная к контуру поперечного сечения и определяются отрезки  и .

2) По формуле (11) определяются координаты xя и yя.

Такая процедура проводится со всеми касательными. Для сложного криволинейного контура, чем больше будет проведено касательных, тем точнее будет найден контур ядра сечения.

Можно доказать, что если касательная будет вращаться вокруг угла контура сечения, если он есть, то соответствующая точка на контуре ядра будет перемещаться по прямой линии, соединяющей точки ядра соответствующие крайним положениям  касательных.

Таким образом, если контур поперечного сечения представляет собой многоугольник, что контур ядра сечения тоже будет иметь форму многоугольника, но необязательно с тем же количеством углов (их может быть меньше).

Для прямоугольного сечения ядро будет ромбом с диагоналями, равными одной трети соответствующей стороны сечения. Поэтому прямоугольное сечение при расположении силы по главной оси работает на напряжения одного знака, если точка приложения силы не выходит за пределы средней трети стороны сечения.

Для круглого сечения радиуса r очертание ядра будет по симметрии кругом радиуса . Возьмем какое-либо положение нейтральной оси, касательное к контуру. Ось Оу расположим перпендикулярно к этой касательной. Тогда

Таким образом, ядро представляет собой круг с радиусом, вчетверо меньшим, чем радиус сечения.

Для двутавра нейтральная ось при обходе контура не будет пересекать площади поперечного сечения, если будет касаться прямоугольного контура ABCD, описанного около двутавра (рис.7.26, а). Следовательно, очертание ядра для двутавра имеет форму ромба, как и для прямоугольника, но с другими размерами.

Для швеллера, как и для двутавра, точки 1, 2, 3, 4 контура ядра (рис.7.26, б) соответствуют совпадению нейтральной оси со сторонами прямоугольника ABCD.

image037-17
       Рис.7.26. Ядро сечения для двутавра — а) и швеллера — б)

 

Пример 6.

Для бруса определить грузоподъемность [F] при К1 = 0,5; К2 = 2; [σ]= 20 МПа = 2 кН/см2 из условия прочности по нормальным напряжениям. Схема поперечного сечения показана на рис. 7.26.1. Схема бруса и нагрузки дана на рис.7.26.2.

image794

Рис.7.26.1. Поперечное сечение (размеры указаны в сантиметрах)

 

image804

Рис. 7.26.2. Сложное сопротивление жесткого бруса:

а – заданная система; б – приведение сил к главным осям;

в – эпюры внутренних усилий

 

Решение.

1. Геометрические характеристики сечения.

В силу симметрии сечения оси xCСyC – главные.

Площадь A=3515 - 2105=425 см2.

Главные центральные моменты инерции:

Моменты сопротивления:

Радиусы инерции:

Квадраты радиусов инерции:

2. Приведение внешних сил к главным осям торцового сечения консоли (рис.7.26.3).

 

image823

Рис.7.26.3. Приведение нагрузки к главным осям торцевого сечения

 

Перенося силу F2=2F к центру С сечения, получаем эквивалентную систему нагрузок на торце консоли, включающую силу 2F и моменты относительно осей xC и yC:

3. Построение эпюр усилий (рис. 7.26.2, в).

Участок SL.

N=2F=const – растяжение;

Mx=mx=15F кНсм=const – растянуты верхние волокна;

My=my=35F кНсм=const – растянуты правые волокна.

Участок А0S.

N=2F=const – растяжение;

Mx=mx+F1z2=15F +0,5Fz2 – растянуты верхние волокна;

Mx(0)=15F кНсм;

Mx(80)=15F +0,5F80 =55F кНсм;

My=my=35F кНсм=const – растянуты правые волокна.

4. Условие прочности для опасной точки опасного сечения A0.

В угловых точках показаны знаки нормальных напряжений от N (£), MX (), MY (r). Опасной является точка f (рис. 7.26.4).

 

image853

Рис.7.26.4. Определение опасной точки в опасном сечении

 

Условие прочности для опасной точки f имеет вид

При подстановке в условие прочности внутренних усилий в опасном сечении N = 2F,   Mx = 55F,   My = 35F получим

Итак, допускаемая грузоподъемность соответствует нагрузке F1 = 0,5F = 16,15 кН,   F2 = 2F = 64,6 кН.

5. Построение ядра сечения (рис. 7.26.5).

image861

Рис.7.26.5. Ядро сечения (размеры указаны в сантиметрах)

 

Координаты угловых точек ядра в осях xCСyC вычисляются по формулам:

где aX, aY – отрезки, отсекаемые на главных осях касательными к контуру сечения нулевыми линиями I, II, III, IV, откуда получим координаты точек 1, 2, 3, 4. Например, задав нулевую линию II, имеем aX = +17,5 см, aY = , так что координаты точки 1    и т. д.

Координаты точек:

т.2 (x2 = 0;  y2 = +3,02 см);

т.3 (x3 = +5,74 см; y3 = 0);

т.4 (x4 = 0;  y4 = –3,02 см).

 

Критерии предельного состояния материала при сложном напряженном состоянии. Теории прочности

Для определения напряженного состояния в какой-нибудь точке тела, нужно вокруг этой точки выделить элементарный параллелепипед. По граням этого параллелепипеда, в общем случае, будут действовать нормальные и касательные, напряжения. Зная эти напряжения, всегда можно найти главные напряжения и главные площадки. Следовательно, напряженное состояние в каждой точке тела, в конечном счете, будет определяться тремя главными напряжениями σ1, σ2, σ3. Если из трех главных напряжений два равны нулю, то будет иметь место линейное напряженное состояние в данной точке тела. Если из трех главных напряжений только одно равно нулю, то будет иметь место плоское напряженное состояние в данной точке тела. Если ни одно из главных напряжений не равно нулю, то будет иметь место объемное напряженное состояние в данной точке тела. Если во всех точках тела будет один и тот же тип напряженного состояния, то будет иметь место однородное напряженное состояние тела. Линейное напряженное состояние называют простым напряженным состоянием, плоское и объемное напряженное состояние - сложным. Тип напряженного состояния нельзя отождествлять с одноименным видом деформации; так при линейном напряженном состоянии могут происходить объемные деформации и т. д.

 

Гипотезы (теории) прочности

Установлено, что в каждой точке нагруженного тела, в общем случае действует три главных напряжения.

Опыт показывает, что поведение материалов, т.е. начало стадии пластических деформаций и характер разрушения (хрупкий, вязкий), зависят от величины, знака и соотношения главных напряжений.

Поэтому, чтобы судить о прочности материала при сложном напряженном состоянии, нужно предварительно знать - в какой момент при той или иной комбинации главных напряжений наступает опасное состояние материала.

При простом напряженном состоянии ответ на этот вопрос дают диаграммы растяжения или сжатия. Предельными напряжениями считаются такие, при которых хрупкий материал разрушается, а пластичный материал получает недопустимо большие пластические деформации.

При сложном напряженном состоянии решение этой задачи значительно сложнее, т. к. число различных сочетаний из главных напряжений неограниченно велико, а опыт технически очень сложен.

Вследствие этого при составлении условий прочности материала при сложном напряженном состоянии мы можем располагать только допускаемыми напряжениями, установленными по результатам испытаний на простое растяжение или сжатие.

В связи с этим возникает задача: зная максимально допустимые безопасные напряжения при простом растяжении, найти эквивалентную, т. е. равно безопасную комбинацию из главных напряжений при сложном напряженном состоянии.

Единственным практическим путем решения этой задачи является установление общих критериев разрушения, которые позволили бы оценить опасность перехода материала в предельное состояние при сложном напряженном состоянии, используя лишь данные опытов на растяжение.

Критерии разрушения или гипотезы прочности представляют собой предположения о преимущественном влиянии на прочность материалов того или иного фактора, сопутствующего процессу деформации и разрушения материалов.

Наиболее важными факторами, связанными с возникновением опасного состояния материала, являются: нормальные и касательные напряжения, линейные деформации и потенциальная энергия деформации.

Который из этих факторов является главной причиной разрушения установить не удается, т.к. невозможно наблюдать действие какого-нибудь одного фактора изолированно от остальных.

При сложном напряженном состоянии следует говорить не о предельном напряжении, а о предельном напряженном состоянии. В качестве предельного состояния в опасной точке детали принимается переход материала в окрестности данной точки из упругого состояния в пластическое или разрушение детали, выражающееся в образовании трещин.

Условимся рассматривать такие случаи напряженного состояния, когда все нагрузки возрастают пропорционально некоторому параметру, вплоть до наступления предельного напряженного состояния. При этом главные напряжения также возрастают пропорционально.

Коэффициентом запаса прочности при сложном напряженном состоянии называется число, на которое следует умножить все компоненты тензора напряжений (или s1, s2, s3), чтобы данное напряженное состояние стало предельным.

Равноопасными называются такие напряженные состояния, для которых коэффициенты запаса прочности равны.

Это дает возможность сравнивать все напряженные состояния между собой, заменяя их равноопасным одноосным напряженным состоянием (растяжением).

Эквивалентным напряжением называется напряжение, которое следует создать в растянутом образце, чтобы его напряженное состояние стало равноопасным заданному напряженному состоянию (рис.7.27).

Рис. 7.27

 

Заменяя сложное напряженное состояние эквивалентным растяжением, получаем возможность использовать при сложном напряженном состоянии условие прочности при простом растяжении:

Условие наступления предельного состояния имеет следующий вид:

 или

 

Теория наибольших нормальных напряжений (I теория прочности, Галилей, 1638 г.)

В основу теории наибольших нормальных напряжений положена гипотеза о преимущественном влиянии наибольших по абсолютной величине нормальных напряжений.

Согласно данной теории прочности опасное состояние материала при сложном напряженном состоянии наступает тогда, когда наибольшее из главных напряжений достигает величины, соответствующей пределу прочности при простом растяжении.

В этом случае условие прочности должно иметь вид:

 - при растяжении,                                                                           (14)

  - при сжатии.                                                                               (15)

Данная гипотеза удовлетворительно согласуется с результатами испытания деталей из хрупких материалов, таких как камень, кирпич, чугун. Для расчета деталей из пластичных материалов данная гипотеза непригодна.

 

Теория наибольших линейных деформаций (II теория прочности, Мариотт, 1682 г.)

В основу теории наибольших линейных деформаций положена гипотеза о преимущественном влиянии наибольших по абсолютной величине линейных деформаций.

Согласно данной теории прочности опасное состояние материала при сложном напряженном состоянии наступает тогда, когда наибольшее из относительных удлинений достигает опасной величины, соответствующей пределу прочности при простом растяжении.

Максимальные относительные деформации в соответствии с обобщенным законом Гука.

 - при растяжении,                                          (16)

 - при сжатии.                                            (17)

 

При простом растяжении

Предельное значение относительной деформации при растяжении

На основании сформулированной гипотезы, имеем

или с учетом (16), (19)

Сравнивая с условием наступления предельного состояния (13), получим эквивалентное напряжение по II теории прочности:

Условие прочности в соответствии с (12) имеет следующий вид:

 - при растяжении,                                             (23)

 - при сжатии.                                                   (24)

Из (19), (20) вытекает, что простое растяжение более опасно нежели сложное. Опыты этого не подтверждают. В связи с этим данная теория для расчета деталей не используется.

 

Теория наибольших касательных напряжений (III теория прочности; Кулон, 1773 год)

В основу теории наибольших касательных напряжений положена гипотеза о преимущественном влиянии наибольших по абсолютной величине касательных напряжений.

Согласно данной теории прочности опасное состояние материала при сложном напряженном состоянии наступает тогда, когда наибольшее из касательных напряжений достигает величины, соответствующей пределу текучести при простом растяжении.

При объемном напряженном состоянии:

При простом растяжении (s2=s3=0)

Предельное значение максимальных касательных напряжений при растяжении

На основании сформулированной гипотезы, имеем

или с учетом (25), (26)

Сравнивая с условием наступления предельного состояния (13), получим эквивалентное напряжение по III теории прочности:

Условие прочности в соответствии с (12) имеет следующий вид:

Для плоского напряженного состояния условие (31) примет вид

На практике встречаются случаи, когда σy =0, тогда

Условие прочности (31) хорошо согласуется с результатами испытания изотропных материалов, поэтому данная теория широко применяется для расчета деталей из металлических материалов.

 

Теория наибольшей удельной потенциальной энергии формоизменения (IV теория прочности; Бельтрами - 1885 г.; Губер - 1904 г.)

В основу энергетической теории прочности положена гипотеза о преимущественном влиянии удельной потенциальной энергии изменения формы.

Согласно данной теории прочности опасное состояние материала при сложном напряженном состоянии наступает тогда, когда удельная потенциальная энергия изменения формы достигает величины, соответствующей пределу текучести при простом растяжении.

При объемном напряженном состоянии удельная потенциальная энергия изменения формы, выраженная через главные напряжения, определяется следующим уравнением:

При простом растяжении (s2=s3=0)

Предельное значение удельной потенциальной энергии изменения формы при растяжении

На основании сформулированной гипотезы, имеем

или с учетом (32) и (34)

Сравнивая с условием наступления предельного состояния (13), получим эквивалентное напряжение по IV теории прочности:

Условие прочности в соответствии с (12) имеет следующий вид:

Для плоского напряженного состояния соотношение (37) принимает вид