Пространственные рамы

 

Главная

Лекция 11. Пространственные системы

 

Содержание

Внутренние усилия пространственных систем

Опоры пространственных систем и их реакции

Кинематический анализ пространственных систем

Определение перемещений пространственных систем

Построение эпюр в плоско-пространственных системах (ППС)

Построение эпюр в ломаных стержнях

Расчет на прочность и подбор сечения ломаных пространственных стержней

Расчет пространственных ферм

Вопросы для самопроверки

Задачи для самостоятельного решения

 

Внутренние усилия пространственных систем

Все сооружения являются пространственными, и на них действуют нагрузки, лежащие в разных плоскостях. Поэтому и расчетные схемы сооружений должны быть пространственными.

Как мы знаем, в плоских стержневых системах определяются три внутренних усилия M, Q, N (рис. 1,а). А в пространственных стержневых системах таких усилий шесть: изгибающие моменты My и Mz, крутящий момент Mx, поперечные силы Qy и Qz, продольная сила N (рис.1,б).

03_31

Рис. 1

 

Опоры пространственных систем и их реакции

Пространственные системы опираются на пространственные опоры, которые имеют свои кинематические и статические свойства. Обычно связи опор считаются жесткими, а перемещения по их направлениям равны нулю. При определении опорных реакций используются известные в механике уравнения равновесия.

В отличие от плоских систем опоры пространственных систем могут быть 15 типов. Из них рассмотрим четыре типа опор.

1. Шаровая подвижная опора (рис. 2,а). На рисунке изображается как шарик, свободно качающийся между опорной плоскостью и элементом конструкции, а в расчетной схеме – как одна вертикальная связь. У этой опоры имеется пять степеней свободы – она дает возможность поступательных перемещений в двух и поворотов в трех направлениях. В ней возникает только одна опорная реакция Ry.

2. Шаровая опора на цилиндрических катках (рис. 2,б). На рисунке изображается как шарик между двумя балансирами, один из которых  жестко связан с элементом конструкции, а другой находится на цилиндрических катках. В расчетной схеме изображается в виде двух связей. У этой опоры имеется четыре степени свободы – одно поступательное перемещение и три поворота. В ней возникают две реакции Ry  и Rz.

03_32

Рис. 2

 

3. Шаровая неподвижная опора (рис. 2,в). На рисунке изображается как шарик между двумя балансирами, жестко связанными с элементом конструкции и основанием, а в расчетной схеме в виде трех связей. У этой опоры есть три степени свободы – возможность поворота в трех направлениях. В ней возникают три реакции Rx, Ry и Rz.

4. Заделка (рис. 2,г). На рисунке изображается как заделанный брус (или стержень), а в расчетной схеме как обычная заделка. У заделки степеней свободы нет. В ней возникают три реакции Rx, Ry и Rz и три реактивных момента Mx, My и Mz.

Кроме рассмотренных здесь, еще имеется 11 различных опор.

Реакции статически определимых пространственных систем определяются из шести уравнений равновесия. Имеется четыре варианта записи этих уравнений, из которых рассмотрим только два:

1. ΣX=0;  ΣY=0;  ΣZ=0;  ΣMx =0;  ΣMy =0;  ΣMz =0.                      

Здесь ΣX,  ΣY,  ΣZ – суммы проекций на три оси x, y, z, которые не должны лежать в одной плоскости и быть параллельными; суммы моментов не обязательно составлять относительно тех же осей.

2. ΣM1=0;  ΣM2=0;  ΣM3=0;  ΣM4=0;  ΣM5=0;  ΣM6=0.                 

Здесь 1, 2, …, 6 – шесть любых осей в пространстве. Но:

– эти оси не должны пересекать одну прямую;

– число параллельных осей не должно быть больше трех;

– если три оси пересекаются в одной точке, остальные три не должны быть параллельными.

 

Кинематический анализ пространственных систем

Как известно, расчетная схема сооружения должна быть геометрически неизменяемой. Многие условия и выводы, полученные при кинематическом анализе плоских систем, применимы и при анализе пространственных систем. Но их недостаточно. Потому вводятся новые понятия и рассматриваются новые способы анализа их геометрической неизменяемости.

Любую геометрически неизменяемую часть пространственной системы будем называть телом. Любое тело без связей имеет шесть степеней свободы – три независимых поступательных перемещения и три поворота. Следовательно, для исключения этих степеней свободы тело нужно закреплять как минимум шестью связями.

Простейший способ закрепления тела к земле показан на рис. 3,а, где имеется три типа опор – шаровая подвижная опора A, шаровая опора на цилиндрических катках B и шаровая неподвижная опора C. Из них опора C исключает три поступательных перемещения тела, опора B – два поворота и опора A – один поворот. Таким образом получается геометрически неизменяемая система.

 

03_33_rus

Рис. 3

 

Связи, соединяющие два тела, могут быть разными. Простейшая связь в виде стержня (С) показана на рис. 3,б. Если же два тела соединяются шаровым шарниром (рис.3,в), то это соединение эквивалентно трем связям (рис. 3,г). Припайка, жестко связывающая два тела (рис.3,д), эквивалентна шести связям.

Если в пространственной системе имеется nТ тел, nШ шаровых шарниров, nC стержней, nc0 опорных связей и nП припаек, то число степеней свободы такой системы определяется по формуле

W = 6nТ – 3nШnC – nc0 6nП .                                                      

Как и для плоской системы, для геометрической неизменяемости пространственной системы необходимо выполнение условия W0.

 

Определение перемещений пространственных систем

В пространственных стержневых системах в общем случае могут возникать шесть внутренних усилий. Поэтому формула вычисления перемещений по методу Мора содержит шесть компонент:

где индексом P обозначены усилия грузового состояния:  – два изгибающих и крутящий моменты,  – две поперечные и продольная силы; надчеркиванием обозначены соответствующие усилия единичного состояния;  – моменты инерции относительно осей yz и полярный момент инерции;  – коэффициенты формы сечения.

Определение перемещений по этой формуле проводится как и при определении перемещений плоских стержневых систем. В пространственных рамах влиянием продольных и поперечных сил обычно пренебрегают и учитывают только первые три члена этой формулы, а в фермах учитывается только последний член.

 

Построение эпюр в плоско-пространственных системах (ППС)

Систему, состоящую из прямолинейных стержней, жестко соединенных между собой, расположенных в одной плоскости и нагруженных перпендикулярно к этой плоскости, будем называть плоско-пространственной.

В настоящей лекции будем рассматривать только жесткозащемленые плоско-пространственные системы (далее сокращенно  ППС). При этом возможны два основных варианта:

1) система располагается горизонтально, нагрузки приложены в вертикальных плоскостях (рис.3.1),

2) система располагается в вертикальной плоскости, нагрузки приложены горизонтально (рис.3.1,в)

В первом случае (рис.3.1) в поперечных сечениях стержней системы могут возникать поперечная сила , изгибающий момент  и крутящий момент  ; во втором случае - . Очевидно, что поворотом на 90 градусов системы второго вида (рис.3.1,в,г) приводятся к системам первого вида, при этом  переходит в  - в , поэтому в дальнейшем ограничимся рассмотрением систем первого вида.

Рис.3.1

 

Известно, что при одновременном наличии в сечениях изгибаемой стержневой системы внутренних моментов и внутренних сил влияние последних на напряженно-деформированное состояние системы незначительно (исключение составляет "короткие" стержни), поэтому исключим из рассмотрения поперечную силу .

Итак, остановимся на правилах построения эпюр  для плоско-пространственных систем.

Прежде чем перейти к рассмотрению примеров на построение эпюр внутренних силовых факторов вспомним, как определяются моменты относительно тех или иных осей от сил, расположенных в пространстве.

Рис.3.2

 

На рис.3.2 представлен брус и две силы F1 и F2, приложенные в точке С, расположенной в торцевой плоскости бруса соответственно на расстоянии a и b в от осей X и Y. Сила F1 параллельна оси Y, а сила F2 – оси Z.

Определить величину моментов относительно X0, Y0 и Z от этих сил в сечении В бруса. Вычислим момент от силы F1 относительно Х0. Плечо этой силы определяется расстоянием между плоскостью Х0ОУ0 в сечение B и параллельной ей  вертикальной плоскостью, содержащей силу F1.

Это расстояние равно l. Следовательно, в сечении В (изгибающий момент в вертикальной плоскости) . Момент силы F1 относительно оси Y0 равен нулю так как сила параллельна этой оси. Плечо силы F1 относительно оси Z определяется расстоянием между плоскостью Y0OZ и параллельной ей вертикальной плоскостью, содержащей силу F1(l). Тогда крутящий момент . Если смотреть на брус со стороны внешней нормали к поперечному сечению, то этот момент направлен по часовой стрелке. Такое направление момента будем считать отрицательным. Правило знаков для крутящих моментов, вообще говоря, условно и может быть любым. Необходимо только моменты, скручивающие брус в разные стороны, откладывать по разные стороны от нулевой линии эпюры.

Рассмотрим силу F2. Момент от силы F2 относительно оси Z равен нулю, т.к. сила F2 параллельна этой оси. Плечо силы F2 относительно оси Х0 и сечении В, определяемое расстоянием между горизонтальной плоскостью X0OZ и параллельной ей горизонтальной плоскостью, содержащей силу F2, равен a, следовательно изгибающий момент в вертикальной плоскости . Плечо силы F2 относительно оси Y0 в сечении В равно расстоянию между вертикальной плоскостью Y0OZ и параллельной ей вертикальной плоскостью, содержащей силу F2. Это расстояние равно b. Следовательно, изгибающий момент в горизонтальной плоскости . Эпюры изгибающих моментов строятся на сжатом волокне. Итак, в сечении В будут возникать следующие моменты:

изгибающий момент в вертикальной плоскости

(в этом уравнении момент силы F2, сжимающие верхние волокна бруса, взят со знаком плюс);

изгибающий момент в горизонтальной плоскости

(сжаты волокна левой половины поперечного сечения бруса);

крутящий момент

Закономерности изменения внутренних силовых факторов в зависимости от характера действующих внешних нагрузок (сосредоточенная сила, равномерно распределенная поперечная нагрузка, сосредоточенный момент) устанавливаются так же, как для балок и плоских рам.

 

Пример 1.

Рассмотрим ППС (рис.3.3,а). Прежде чем строить для этой системы эпюры , построим эпюры   для каждой из четырех возможных нагрузок (они представлены на схеме), так как вообще говоря, любые эпюры  в силу принципа независимости действия сил будут представлять собой алгебраическую сумму этих простейших эпюр, построенных от каждой нагрузки в отдельности, но, разумеется, с учетом места приложения нагрузок, их направлений и геометрической конфигурации системы.

Для достижения максимальной общности будем считать, что сила F, момент типа  и момент типа  (имеется в виду плоскость действия каждого из них) приложены к концевому сечению (т на рис.3.3), а распределенная нагрузка приложена к первому от свободного конца участку стержня (стержень АВ на рис.3.3,а).  Причем, все построения будем выполнять в общем виде, полагая, для наглядности, что a< l.

Пусть к  плоско-пространственной системе (рис.3.3,в) приложена только сила F. Построим эпюры  для заданной системы. Здесь, как и при любой другой внешней нагрузке, более сложным является построение эпюры изгибающих моментов . В соответствии с ранее оговоренными принципами, для построения эпюры  в заданной ППС выделим 6 характерных сечений. Так как имеется жесткая заделка, то расчет ведем от свободного конца. При вычислении изгибающего момента очень важно правильно определить плоскость изгиба стержня, которому принадлежит рассматриваемое характерное сечение, т.к. плечо действующей нагрузки необходимо определить именно в плоскости изгиба.

Рис.3.3

 

Стержень АВ изгибается в вертикальной плоскости, перпендикулярной плоскости чертежа;

 (сжаты верхние волокна).

Стержень ВС изгибается в вертикальной плоскости, параллельной плоскости чертежа:

 (сила F не имеет плеча в плоскости изгиба!);

   (сжаты верхние волокна).

Стержень СД, как и стержень АВ, изгибается в вертикальной плоскости, перпендикулярной плоскости чертежа.

  (сжаты нижние волокна).

    (сила F не имеет плеча в плоскости изгиба).

Остановимся подробнее на определении изгибающего момента . Как видно из приведенных выше значений: , то есть моменты в сечениях 2 и 5 (обратим внимание на их расположение, а не на нумерацию, которая, естественно, может быть совершенно произвольной) одинаковы по величине, но противоположны по направлению. Это утверждение можно доказать.

Причем, возможно как строгое доказательство, так и некоторые "нестрогие" рассуждения, приводящие к тому же факту. Начнем с последних. Под действием приложенной силы F (рис.3.3,в) происходит "перекос" системы: точка В смещается вверх, а точка С - вниз; при этом обе точки располагаются на одинаковом расстоянии (в вертикальной плоскости, перпендикулярной плоскости чертежа) от линии действия силы F, следовательно, моменты в сечениях 2 и 5 одинаковы, но противоположны по знаку.

Для иллюстрации другого подхода к "нестрогому" доказательству утверждения о том, что  введем в рассмотрение так называемую скользящую систему координат (рис.3.3,в). Такое название связано с тем, что координатные оси как бы скользят вдоль ломаной продольной оси системы, не поворачиваясь вокруг нее. При этом на каждом участке плоско-пространственной системы ось z направлена вдоль продольной оси соответствующего стержня, ось y - вверх (или вниз) при расположении системы в горизонтальной плоскости, а ось x остается перпендикулярной к плоскости yoz. Как следует из чертежа, на участках АВ и СД ось x имеет противоположное направление, следовательно, моменты  имеют на этих участках разные знаки, а так как сечения 2 и 5 равноудалены от линии действия силы F, то очевидно равенство моментов в этих сечениях по абсолютной величине.

И, наконец, рассмотрим более строгое доказательство. Двигаясь от свободного конца при выборе отсеченной части, мы получили:  (сжаты верхние волокна). Определим момент  в сечении 5, двигаясь при выборе отсеченной части со стороны жесткой заделки. Для определения момента таким способом необходимо знать реакции заделки. При действии на систему силы F из всех возможных в общем случае нагружения реакций в жесткой заделке возникают реакция  и опорный момент , определяемые из условий равновесия:

Теперь, двигаясь со стороны жесткой заделки, для сечения 5 получим:

 (сжаты нижние волокна), то есть  (момент  не влияет на величину , так как его плоскость действия перпендикулярна плоскости изгиба).

Очевидно, что подобные рассуждения можно провести при любой внешней нагрузке, поэтому в дальнейшем при построении эпюры  всегда будем руководствоваться правилом: изгибающий момент в сечении 5 равен изгибающему моменту в сечении 2 (опять-таки, имеется в виду положение сечений, а не их порядковые номера) и противоположен ему по знаку, при условии, что на участке 2-5 не приложен сосредоточенный момент, который для сечения 5 является изгибающим, то есть момент типа  (рис.3.3,а). При наличии на участке 2-5 такого момента равенство ординат по модулю в сечениях 2 и 5 "искажается" на величину  в соответствующую направлению  сторону.

Теперь построим эпюру .

Участок АВ не подвержен кручению, так как сила F приложена к продольной оси стержня АВ. Участок ВС закручивается силой F с плечом l, следовательно:

Участок СД также закручивается силой F, но с плечом a, то есть:

Эпюры  и  представлены на рис.3.3,г.

Аналогичным образом строятся эпюры изгибающих и крутящих моментов от распределенной нагрузки q (рис.3.3,д), сосредоточенного момента типа  (рис.3.3,ж) и сосредоточенного момента типа  (рис.3.3,и).

Не останавливаясь детально на построении этих эпюр, отметим некоторые особенности. Эпюра  на участке под распределенной нагрузкой (и только на этом участке!)- квадратная парабола, направленная выпуклостью навстречу нагрузке. На участке СД - противоположном тому, где приложена нагрузка q - эпюра  пересекает ось в точке, расположенной напротив равнодействующей распределенной нагрузки (рис.3.3,д).

Анализ эпюр от сосредоточенных моментов  (рис.3.3,з) и  (рис.3.3,к) позволяет сделать очевидный вывод о том, что если момент приводит к изгибу какого-либо стержня, то кручение на этом участке отсутствует и наоборот.

Теперь, учитывая накопленный опыт при построении эпюр от раздельного действия каждой из четырех нагрузок, рассмотрим более сложное нагружение (рис.3.3,а).

При указанных на этом рисунке нагрузках для построения эпюры   необходимо выделить 8 характерных сечений. Двигаясь от свободного конца, получим по участкам:

Участок АВ изгибается в вертикальной плоскости, перпендикулярной плоскости чертежа:

(сжаты нижние волокна).

Кручение на участке АВ отсутствует, так как сила F и нагрузка q имеют нулевые плечи относительно продольной оси участка АВ.

Участок ВС  изгибается в вертикальной плоскости, параллельной плоскости чертежа.

 (сжаты верхние волокна);

 (сжаты нижние волокна);

, так как момент , приложенный к отсеченной части для сечения 5, действует в плоскости, перпендикулярной ВС и на изгиб участка ВС не влияет;

 (сжаты нижние волокна).

Для построения эпюры крутящих моментов на участке ВС рассмотрим отдельно участки 3-4 и 5-6, так как между сечениями 4 и 5 приложен момент . Участок 3-4 закручивается силой F с плечом 3м и в противоположную сторону - нагрузкой q с плечом 1,5м:

 (здесь знак "-" носит сугубо условный характер и может служить только для обозначения направления кручения). Участок 5-6 помимо силы F и нагрузки q закручивается еще и моментом , причем, в том же направлении, что и нагрузкой q, поэтому:

Участок 7-8 закручивается нагрузкой q с плечом 2м и в противоположную сторону - силой F с плечом 2 м и моментом , следовательно:

По вычисленным значениям строим эпюры  и  (рис.3.3,б).

 

Построение эпюр в ломаных стержнях

Систему, состоящую из жестко соединенных между собой стержней, оси которых не лежат в одной плоскости, будем называть ломаным стержнем. При этом ограничимся рассмотрением только таких ломаных стержней, отдельные элементы которых стыкуются друг с другом под прямыми углами, а внешние нагрузки приложены перпендикулярно к осям стержней (рис.3.4,а).

Рис.3.4

 

В общем случае нагружения в поперечных сечениях ломаных стержней могут возникать все 6 известных внутренних силовых факторов: продольная сила , поперечные силы , изгибающие моменты , крутящий момент . Очень часто, особенно в машиностроительных конструкциях, отдельные элементы ломаного стержня имеют незначительную длину, иногда соизмеримую с размерами поперечного сечения, то есть являются "короткими" стержнями. В этом случае не только внутренние моменты , но и внутренние силы () существенно влияют на напряженно-деформированное состояние конструкции, поэтому для ломаных стержней будем строить эпюры всех шести внутренних силовых факторов.

Для правильного построения эпюр здесь обязательным является использование скользящей системы координат, о которой уже говорилось при рассмотрении плоско-пространственных систем.

Для обеспечения равновесия жесткого пространственного стержня на него необходимо и достаточно наложить шесть связей; три связи, запрещающие линейные перемещения по трем координатным осям, и три связи, запрещающие ее поворот относительно координатных осей.

В общем случае нагружения пространственной системы необходимо с помощью шести независимых уравнений статики определить реакции, накладываемые внешними связями на данную систему. Методика построения эпюр внутренних силовых факторов для пространственных систем точно такая же, как балок и плоских рам. Сложность построения эпюр состоит только в том, что для подсчета моментов необходимом определять плечи соответствующих сил.

 

Пример 2.

Рассмотрим простейший случай нагружения ломанного стержня - двумя взаимноперпендикулярными сосредоточенными силами, приложенными на свободном конце (рис.4,а).

Выбираем скользящую систему координат (рис.4,б). Ось z всегда направлена вдоль продольной оси того или иного участка ломаного стержня, а при переходе с одного участка на другой координатные оси поворачиваются на 90 градусов, но никогда не вращаются вокруг оси z. Удобнее всего начинать выбор скользящей системы координат с горизонтального участка ломаного стержня, который параллелен плоскости чертежа или лежит в этой плоскости (участок ВС на рис.4,б).

На этом участке (а он аналогичен обычной балке) ось y направляется вертикально (вверх или вниз), ось z - вдоль продольной оси участка, а ось  x - перпендикулярно плоскости yoz, после чего система координат передвигается на остальные участки ломаного стержня.

 Построение эпюры .

Построение этой и всех последующих эпюр ведем от свободного конца. Правило знаков для  остается таким же, как и для других систем, а именно: растяжению соответствует знак "+", сжатию - "-".

Участок АВ имеет нулевую продольную силу, так как  перпендикулярны продольной оси этого участка:

Участок ВС растягивается силой :

Участок СД сжимается силой :

Построение эпюр   и .

Поперечную силу  формируют только те силы, которые параллельны оси x на данном участке, а поперечную силу - силы, параллельные оси y. Здесь также сохраняется обычное для Q правило знаков: , если внешняя сила, приложенная к отсеченной части, стремится повернуть рассматриваемое сечение по часовой стрелке и  - в противоположном случае. С учетом сказанного в характерных сечениях имеем:

Рис. 4

 

Построение эпюр .

Ординаты эпюр изгибающих моментов будем, как обычно, откладывать со стороны сжатых волокон, не указывая знаков, причем ориентировать эпюры нужно так, чтобы плоскость эпюры совпадала с плоскостью действия пары того изгибающего момента, для которого она построена. Иначе говоря, эпюра   на всех участках ломаного стержня располагается в плоскости yoz, а эпюра  - в плоскости xoz.

Начнем с построения эпюры . Здесь нас будет интересовать изгиб каждого участка в плоскости yoz (см. скользящую систему координат на рис.4,б) и, соответственно, плечо каждой действующей на отсеченную часть нагрузки нужно измерять в этой плоскости.

На участке АВ плоскость yoz - вертикальная плоскость, параллельная плоскости чертежа. В этой плоскости стержень АВ изгибается только силой , так как  перпендикулярна плоскости yoz :

 (сжаты правые волокна).

На участке ВС плоскость yoz  ориентирована так же, как и на участке АВ, причем, все точки ВС равноудалены от линии действия силы , поэтому:

 (сжаты верхние волокна).

На участке СД плоскость yoz - вертикальная плоскость, перпендикулярная плоскости чертежа. В этой плоскости стержень СД изгибается только силой , так как  перпендикулярна yoz ; все точки участка СД равноудалены (в рассматриваемой плоскости) от линии действия силы , следовательно:

 (сжаты нижние волокна).

Рассуждая аналогичным образом, будем строить эпюру , но теперь нужно рассматривать изгиб каждого участка ломаного стержня в плоскости xoz.

На участке АВ плоскость xoz - вертикальная плоскость, перпендикулярная плоскости чертежа. В этой плоскости стержень АВ изгибается только силой , так как  перпендикулярна плоскости xoz:

 (сжаты дальние от наблюдателя волокна).

На участке ВС плоскость xoz - горизонтальная плоскость. В этой плоскости сила  приложена вдоль продольной оси стержня ВС и к изгибу привести не может, поэтому:

 (сжаты дальние от наблюдателя волокна).

На участке СД плоскость xoz - это так же горизонтальная плоскость. Здесь к изгибу стержня СД приводят обе силы: плечо силы  постоянно и равно b, а плечо силы  равно нулю в сечении 5 и равно с в сечении 6:

Иногда при построении эпюр изгибающих моментов в ломанных стержнях возникают затруднения в определении участия той или иной нагрузки в изгибе стержня или в определении плеча той или иной нагрузки. В этих случаях всегда можно использовать простой, но эффективный прием: спроектировать конструкцию и действующие нагрузки на ту плоскость в которой изгибается стержень, переходя тем самым от пространственной конструкции к ее проекции, что позволяет легко определить плечи каждой из нагрузок и их "вклад" в изгиб рассматриваемого участка. Проследим использование этого приема например, при построении эпюры  на участке СД (рис.4,а). На этом участке плоскость xoz, в которой нужно рассматривать изгиб стержня при построении - горизонтальная плоскость, следовательно, для реализации описываемого приема необходимо спроектировать конструкцию на горизонтальную плоскость, то есть изобразить вид сверху (рис.5).

Рис.5

 

При этом сила  будет видна направленной вдоль стержня ВС, сила - перпендикулярно ВС, а стержень ВА проектируется в точку. Теперь совершенно очевидно, что все точки стержня СД равноудалены от линии действия силы , что приводит к постоянному моменту , а сила  имеет нулевое плечо в сечении 5 и плечо, равное с, - в сечении 6:

В обоих сечениях сжаты  правые волокна, то есть получен тот же результат, что и ранее, но в более наглядном виде.

 

Пример 3.

Построить эпюры изгибающих и крутящих моментов для пространственного ломанного стержня, показанного на рис.5.1.

Рис.5.1

 

Стержень состоит из трех прямых брусьев АВ, ВС, СД, жестко соединенных под прямыми углами в узлах В и С. Брус АВ расположен в вертикальной плоскости, брусья ВС и СД -  в горизонтальной плоскости.

Для определения внутренних силовых факторов, действующих в поперечных сечениях стержня, воспользуемся методом сечений.

Рассекаем участок АВ  на расстоянии Z1 от свободного торца А (рис. 5.1,а) и проводим оси координат в поперечном сечении бруса, поместив начало координат в центре тяжести поперечного сечения бруса.

Ось Z направляем по нормали к поперечному сечению, а оси X и Y проведём в плоскости поперечного сечения.

Определяем моменты относительно каждой оси. Равномерно распределенная нагрузка заменяется равнодействующей qZ1

Эта равнодействующая параллельна оси X, поэтому MX=0. Относительно оси Y плечом для равнодействующей qZ1 будет расстояние между плоскостью XOY и параллельной ей горизонтальной плоскостью, содержащей равнодействующую qZ1. Это расстояние . 

Изгибающий момент меняется по параболе от нуля (при Z1=0) до  ( при Z1=a). (Сжаты волокна правой половины поперечного сечения бруса). Момент относительно оси Z равен нулю, т.к. равнодействующая qZ1, пересекает ось Z.

Переходим к участку ВС.

Проводим сечение на расстоянии Z2 от сечения В (рис.5.1,а). Таким же образом, как и на участке АВ, проводим оси координат.

Равномерно распределённая нагрузка заменяется равнодействующей qa, , т.к. равнодействующая qa параллельна оси X     - плечо для равнодействующей qa, определяется как расстояние между вертикальной плоскостью YOZ и параллельной ей вертикальной плоскостью, содержащей равнодействующую qa (сжаты волокна правой половины поперечного сечения бруса),

При Z2=0               MY=0                     

При Z2=2а            MY=2qa2

 - плечо для равнодействующей  qa.

Определяемое как расстояние между плоскостью ZOX и параллельной ей горизонтальной плоскостью, содержащей равнодействующую qa.

Рассмотрим участок СД

По аналогии с предыдущими участками рассечём брус СД на расстоянии Z3 от сечения С. Проводим оси X1Y1Z и определяем моменты относительно этих осей. Относительно оси X создают момент сила F=qa и равнодействующая на участке АВ, равная qa. Плечом для силы F является расстояние между плоскостью XOY и параллельной ей вертикальной плоскостью, содержащей силу F. Это расстояние равно Z3. Плечом для равнодействующей qa является расстояние между плоскостью XOZ и параллельной ей горизонтальной плоскостью, содержащей силу qa. Это расстояние  - a/2. Итак,    (Момент, сжимающий верхнюю половину поперечного сечения бруса, взят со знаком плюс).

При  (сжато верхнее волокно);

При