Определение перемещений в упругих системах

 

Главная

Лекция 12. Определение перемещений в упругих системах. Общие теоремы об упругих системах

 

Содержание

Потенциальная энергия деформации стержня в общем случае его нагружения  

Обобщённые силы и обобщенные перемещения

Работа внешних сил. Теорема Клапейрона

Вычисление потенциальной энергии деформации. Определение перемещений при непосредственном использовании потенциальной энергии

Теоремы о взаимности работ и взаимности перемещений

Теорема Кастильяно. Теорема Лагранжа

Теорема о минимуме потенциальной энергии

Вопросы для самопроверки

 

Любая конструкция под действием приложенных внешних нагрузок изменяет в той или иной степени свою форму и размеры – деформируется. Для проверки жесткости и устойчивости конструкции необходимо уметь определять перемещения, вызванные деформацией ее элементов. Кроме того, определение перемещений конструкции является важнейшей вспомогательной задачей при расчете статически неопределимых систем.

Перемещение – векторная величина. Перемещение любой точки на плоскости можно задать через его модуль и направление. Например, вектор перемещения  точки А рамы в точку А¢ (рис. 12.1,а) определяется через его модуль  и угол (направление)  (рис. 12.1,б). А эти величины можно определять через горизонтальную и вертикальную составляющие   и  вектора перемещения :

Поступательные перемещения  будем называть линейными перемещениями, а  угловым перемещением.

05_01_rus

Рис. 12.1

 

Методы определения этих перемещений весьма разнообразны. Они отличаются друг от друга главным образом степенью сложности и областью применения.

Исторически первым предложенным методом определения перемещений можно считать метод непосредственного интегрирования дифференциального уравнения упругой линии балки. Однако в случае балок с большим количеством участков реализация этого метода сопряжена со значительными трудностями, которые заключаются не в интегрировании дифференциальных уравнений, а в технике определения произвольных постоянных интегрирования – составлении и решении систем линейных алгебраических уравнений.

Если по условиям нагружения балка разбивается на n участков, то задача становится очень трудоемкой уже при n=3. Для уменьшения большого объема вычислительной работы, связанной с определением произвольных постоянных интегрирования, разработан ряд методов, из которых, прежде всего, отметим метод начальных параметров, позволяющий при любом числе участков свести решение к отысканию только двух постоянных – прогиба и угла поворота в начале координат.

Указанные методы, как и некоторые другие, носят частный характер. С некоторой натяжкой их можно признать удобными при решении ограниченного круга простейших задач.

Кроме аналитических методов вычисления прогибов и углов поворота сечений балок существуют более общие методы, пригодные для определения перемещений в любых упругих конструкциях (например, метод Мора, иногда говорят Максвелла-Мора. Эти методы основаны на двух основных принципах механики: законе сохранения энергии и начале возможных перемещений.

Прежде чем перейти к изложению метода, остановимся на его основных теоретических предпосылках.

 

Потенциальная энергия деформации стержня в общем случае его нагружения 

При статическом растяжении или сжатии упругого стержня происходит превращение потенциальной энергии из одного вида в другой. Потенциальной будем называть такой вид энергии, который накапливается в теле при его упругих деформациях. При нагружении стержня внешними силами часть потенциальной энергии действующего на стержень груза полностью переходит в потенциальную энергию деформации стержня. Действительно, если мы будем нагружать стержень с помощью малых грузов dP (рис.12.1.1), то при добавлении каждого такого груза подвешенная уже часть нагрузки будет опускаться и ее потенциальная энергия будет уменьшаться, а потенциальная энергия деформации стержня соответственно увеличиваться.

 

Рис

Рис.12.1.1

 

Это явление имеет место при любом виде деформации всякой упругой конструкции при статической нагрузке. Такую конструкцию можно рассматривать как своеобразную машину, преобразующую один вид потенциальной энергии в другой.

Будем называть “статической” такую нагрузку, которая возрастает постепенно и таким образом, что ускорениями элементов конструкции можно пренебречь; передача давлений (сил) от одной части конструкции на другую не меняет характера движения этих частей, т.е. скорость остается постоянной и ускорение отсутствует.

При этих условиях деформация конструкции не будет сопровождаться изменением кинетической энергии системы, и будет иметь место лишь преобразование потенциальной энергии из одного вида в другой. При этом мы пренебрегаем магнитными, электрическими и тепловыми явлениями, сопровождающими упругие статические деформации тела лишь в очень слабой мере.

Так как характер движения всех элементов конструкции с течением времени не меняется, то в каждый момент времени будет иметь место равновесие как для каждой части конструкции в целом под действием внешних сил и реакций, так и для каждого элемента этой части под действием внешних сил и напряжений, приложенных к этому элементу. Деформации конструкции, напряжения в ее частях и реакции, передающиеся от одной части на другую, успевают следовать за ростом нагрузки.

Таким образом, можно сказать, что полное преобразование одного вида потенциальной энергии в другой имеет место, если деформация происходит без нарушения равновесия системы. Мерой энергии, превратившийся в другой вид, является величина работы, произведенной силами, действующими на конструкцию.

Обозначим величину накопленной потенциальной энергии деформаций через U, а уменьшение потенциальной энергии внешних нагрузок через Up. Тогда величина Up измеряется положительной работой этих нагрузок Ap; с другой стороны, накоплению потенциальной энергии деформации U соответствует отрицательная работа внутренних, межчастичных сил W, так как перемещения точек тела при деформации происходят в обратном по отношению к внутренним силам направлении.

Закон сохранения энергии при деформациях упругих систем принимает вид:

Заменяя в этой формуле величины Up  и U численно равными им значениями работ Ap  и -W, получаем иную формулировку этого закона:

Эта формулировка закона сохранения энергии совпадает с так называемым “началом” или “принципом” возможных перемещений в применении к упругим системам. Равенство (2) выражает ту мысль, что при перемещениях без нарушения равновесия сумма работ всех сил, приложенных к точкам тела, равна нулю.

Таким образом, принцип возможных перемещений в применении к упругим системам является следствием закона сохранения энергии.

Из формулы (1) следует, что потенциальная энергия деформации U численно равна работе внешних сил Ap, проделанной ими при этой деформации:

 

Обобщённые силы и обобщенные перемещения

Прежде, чем перейти к вычислению работы внешних сил, а через нее к потенциальной энергии деформации, введем понятие обобщенной силы и обобщенной координаты.

В задачах сопротивления материалов и строительной механики внешняя нагрузка отличается большим разнообразием и обычно представляет собой группы сил. Выражение для работы группы постоянных сил можно представить в виде произведения двух величин:

в котором множитель P зависит только от сил группы и называется обобщенной силой, а  зависит от перемещений и называется обобщенным перемещением или обобщенной координатой.

Таким образом, под обобщенной силой следует понимать любую нагрузку (сосредоточенные силы, сосредоточенные пары, распределенную нагрузку), вызывающую соответствующее нагрузке перемещение. Обобщенной координатой будем называть перемещение, соответствующее этой силе.

“Соответствие” заключается в том, что речь идет о перемещении того сечения, где приложена рассматриваемая сила, причем о таком перемещении, что произведение его на эту силу дает нам величину работы. Для сосредоточенной силы это будет линейное перемещение по направлению действия силы – прогиб, удлинение, для пары сил – это угол поворота сечения по направлению действия пары.

На рис.12.2, б обобщёнными силами будут две силы Р, два момента m, распределённая нагрузка q.

а)                                                                б)

в)                                                                                           г)

Рис. 12.2

 

Производимая ими работа соответственно равна:

где  а величина  представляет собой площадь между исходной и изогнутой осями балки.

Обобщёнными силами могут быть не только внешние, но и внутренние: .

Рассмотрим например статически неопределимую балку (рис. 12.3).

Рис. 12.3

 

Рассечём её на расстоянии z от левого конца и приложим к краям разреза по две нормальные силы N, две перерезывающие , два изгибающих момента , каждая из которых образует группу сил, характеризуемых  одним числом, т.е. обобщённую силу.

Возьмём две нормальные силы N. Они совершат работу:

Обобщённое перемещение  представляет собой относительное расхождение краёв разреза. Аналогично можно рассмотреть две силы  и два момента .

Обобщенные перемещения принято обозначать буквами  или  с двумя индексами. Первый индекс обозначает точку и направление перемещения, а второй указывает причину, вызвавшую искомое перемещение. Например,  обозначает перемещение  точки приложения силы F  по направлению ее действия, вызванное этой же силой.

Для обозначения полного перемещения точки, вызванного несколькими обобщенными силами, при  сохраняется только первый индекс.

Перемещение, вызванное безразмерной единичной силой  или безразмерной единичной парой , обозначается символом  и называется удельным.

 

Работа внешних сил. Теорема Клапейрона

Вычислим работу некоторой обобщенной силы P, приложенной к любой упругой линейно деформируемой системе (рис.12.4,а). Предполагается, что нагрузка возрастает от нуля до заданной величины достаточно медленно, чтобы при этом можно было пренебречь силами инерции перемещаемых масс.

Пусть в данный момент силе P соответствует обобщенное перемещение . Бесконечно малое приращение силы на величину dP вызовет бесконечно малое приращение перемещения . Элементарная работа внешней силы, если пренебречь бесконечно малыми второго порядка, равна:

Полная работа, совершенная статически приложенной обобщенной силой P, вызвавшей обобщенное перемещение , имеет вид:

Интеграл (5) представляет собой площадь диаграммы  для данной конструкции (рис.12.4,б).

Рис

Рис.12.4

 

В линейно деформируемых системах перемещения пропорциональны величине силы (закон Гука):

где  - перемещение, вызванное силой

Дифференцируем выражение (6):

Подставляя полученное выражение в формулу (5), найдем:

Учитывая выражение (6), окончательно получим:

Полученное выражение известно под названием теоремы Клапейрона: действительная работа при статическом действии силы на упругую систему равна половине произведения окончательного значения силы на окончательное значение соответствующего ей обобщенного перемещения.

В случае статического действия на упругую систему нескольких обобщенных сил  работа деформации равна половине суммы произведения окончательного значения каждой силы на окончательное значение соответствующего обобщенного перемещения:

 

Вычисление потенциальной энергии деформации. Определение перемещений при непосредственном использовании потенциальной энергии

Из выражения (3) следует, что потенциальная энергия деформации численно равняется работе внешних сил на вызванных ими перемещениях и, следовательно, может быть вычислена с учетом теоремы Клапейрона из выражения:

где P - обобщенная сила;  - соответствующая ей обобщенная координата.

Вычислим потенциальную энергию для некоторых видов деформации, используя выражение (9).

При статическом растяжении и сжатии стержня силами P величина работы , а, следовательно, и величина потенциальной энергии U равняется:

Здесь: N - продольная сила;   - абсолютное удлинение стержня; E -  модуль упругости первого рода; A - площадь поперечного сечения стержня; l - длина стержня.

В случае сдвига

Здесь: Q - поперечная сила; a - размер поперечного сечения;   - величина абсолютного сдвига; G - модуль упругости второго рода, модуль сдвига; A - площадь поперечного сечения.

При кручении

Здесь:  - крутящий момент;   - угол закручивания;  - полярный момент инерции; l - длина скручиваемого стержня.

При чистом изгибе концевые сечения балки (рис.12.5) под действием изгибающих моментов повернутся на угол , где   - центральный угол изогнувшейся по дуге радиусом  оси балки.

Рис

Рис.12.5

 

Тогда

При плоском поперечном изгибе работу на вызванных внешними силами перемещениях совершает также и поперечная сила Q. Вычислим эту работу.

Как отмечалось ранее, поперечные силы являются равнодействующими распределенных в точках сечения касательных напряжений  (рис.12.6,а). Последние в любой элементарной площадке , параллельной нейтральной линии сечения (рис.12.6,б), согласно формуле Д.И.Журавского таковы:

где  - статический момент площади отсеченной части сечения относительно нейтральной линии Oz.

На основании закона Гука взаимный сдвиг двух соответствующих площадок dA, взятых на торцах mn и  (рис.12.6,в),

Рис

Рис.12.6

 

Следовательно, работа внутренних элементарных сил  при их нарастании от нуля до окончательного значения

Интегрируя в пределах сечения , получим работу поперечных сил:

где   - коэффициент, зависящий от формы поперечного сечения; GA - жесткость поперечного сечения стержня при сдвиге.

 Для прямоугольного сечения k=1,2; для кругового - k=32/27; для прокатных профилей приближенно , где  - площадь стенки.

В случае чистого сдвига касательные напряжения распределяются равномерно по сечению:

Следовательно

Полученное выражение с точностью до знака совпадает с выражением для потенциальной энергии при чистом сдвиге (11).

Используя численное равенство потенциальной энергии деформации абсолютной величине работы внутренних сил, можно записать величину элементарной работы при осевом растяжении и сжатии:

при кручении:

при плоском поперечном изгибе

Складывая полученные значения для элементарной работы внутренних сил и интегрируя по длине стержня, можно получить полную работу внутренних сил для общего случая действия сил на стержень при возникновении всех шести силовых факторов:

Потенциальная энергия при возникновении всех шести внутренних силовых факторов с учетом  принимает вид:

Из приведенной формулы видно, что потенциальная энергия деформации является квадратичной функцией обобщенных сил или обобщенных перемещений, так как последние линейно связаны с обобщенными силами. Следовательно, потенциальная энергия деформации всегда положительна. Ее величина не зависит от порядка нагружения и целиком определяется окончательными значениями усилий и перемещений. Отметим также, что потенциальная энергия как квадратичная функция обобщенных нагрузок не подчиняется принципу независимости действия сил. Это значит, что потенциальная энергия, накопленная в результате действия группы сил, не равна сумме потенциальных энергий, вызванных действием каждой нагрузки в отдельности. Закон независимости действия сил при вычислении потенциальной энергии применим лишь в тех случаях, когда перемещение по направлению одной обобщенной силы, вызванное действием другой силы, равно нулю.

Приведенные выражения для потенциальной энергии деформации получены для статического приложения нагрузок при сохранении равновесия в течение всего процесса нагружения. Следует сказать, что полученные формулы сохраняют силу и при любом способе приложения нагрузок, лишь бы значения сил и деформаций были связаны линейной зависимостью и относились к тому моменту, когда установится равновесие конструкции.

Рассмотрим несколько примеров определения перемещений с применением потенциальной энергии деформации.

 

Пример 1.

Определить величину потенциальной энергии деформации в шарнирно-стержневой системе (рис.12.7), нагруженной в узле В вертикальной силой P=40кН. Стержни АВ и ВС имеют одинаковые площади поперечного сечения A=5см2 и изготовлены из одного материала  МПа. Найти (в мм) вертикальное перемещение узла В.

Рис

Рис.12.7

 

Решение.

1. Находим усилия в стержнях АВ и ВС:

Из уравнения (б) находим:  кН; из уравнения (а) находим :  кН.

2. Определяем потенциальную энергию системы:

3. Находим вертикальное перемещение узла В. Представим потенциальную энергию деформации как половину произведения силы P, приложенной в узле, на вертикальное перемещение узла В :

Откуда:

 

Пример 2.

Вычислить потенциальную энергию деформации балки на двух опорах (рис.12.8), нагруженную силой P=30 кН. Определить перемещение под силой и посредине пролета. Жесткость поперечного сечения балки принять равной EJ=3600 кНм2.

Рис

Рис.12.8

 

Решение.

1. Вычисляем опорные реакции:

2. Вычисляем изгибающий момент на каждом участке:

3. Определяем потенциальную энергию деформации:

4. Находим прогиб под силой. Для этого вычислим работу, которую совершает сила P на перемещении балки :

откуда

5. Находим прогиб посредине балки при a=b=l/2. Получим:

 

Теоремы о взаимности работ и взаимности перемещений

Установим зависимость между деформациями в различных сечениях балки, пользуясь понятием потенциальной энергии.

Если к балке, нагруженной силой  в сечении №1 (рис.12.9), приложить затем статически силу  в сечении №2, то к прогибу точки приложения силы  от этой же силы  прибавится прогиб от силы , равный . Порядок индексации у перемещений описан выше.

Рис

Рис.12.9

 

Полная работа внешних сил будет состоять из трех частей: работы силы  на вызванном ею перемещении , т.е. ; работы силы  на вызванном ею перемещении , т.е. ; работы силы  на перемещение точки ее приложения от силы , т.е. .

Таким образом, накопленная в балке при действии обеих сил энергия будет равна:

Как отмечалось выше, количество энергии деформации зависит лишь от конечных значений сил и прогибов и не зависит от порядка нагружения.

Если теперь к балке, нагруженной силой , приложить силу , то повторив цепь вычислений, получим: