Определение перемещений методом Мора-Верещагина

 

Главная

Лекция 13. Вычислений перемещений методом Мора-Верещагина

 

Содержание

Формула Мора для определения перемещений в стержнях  и стержневых системах  

Примеры определения перемещений с помощью формулы Мора  

Графоаналитический способ Верещагина и Симпсона вычисления интегралов в формуле Мора

Примеры вычисления перемещений способом Верещагина

Определение перемещений от осадки опор в балках и рамах  

Определение температурных перемещений в балках и рамах  

Вопросы для самопроверки

 

Формула Мора для определения перемещений в стержнях  и стержневых системах 

Современные машины и механизмы содержат большое количество высокоточных механических элементов – направляющих, осей измерительных винтов и т.д. Сохранение формы и размеров большинства из них в процессе работы является важным условием обеспечения необходимой точности измерений. В этих случаях упругие элементы машин должны удовлетворять условию жесткости

                                                   

где – допускаемое перемещение (прогиб).

Для определения перемещений при изгибе используют интеграл Мора. Метод Мора является самым общим методом определения перемещений в стержневых системах. В известном смысле этот метод является универсальным, так как способен находить перемещения для различных видов деформации и в случаях сложной деформации.

При использовании этого метода (в литературе его называют: методом возможной работы; методом фиктивной нагрузки; методом единичной нагрузки) необходимо рассматривать две системы нагрузок, действующих на конструкцию. Первая система включает все реальные нагрузки, а вторая система включает только единичную нагрузку, которая действует на конструкцию. Единичная нагрузка представляет собой фиктивную или искусственно введённую нагрузку, которая позволяет определить перемещение  конструкции при действии реальных нагрузок. Единичная нагрузка прикладывается в той точке конструкции перемещение которой определяем и действует в направлении искомого перемещения. Если определяется линейное перемещение, то прикладывает единичную силу, а если угловое - единицу момента сил.

Действующая на конструкцию единичная нагрузка, которая представляет собой вторую систему нагрузок, вызывает возникновение реакций опор и внутренних усилий, которые обозначим через  Вместе с единичной нагрузкой и реакциями опор они образуют систему сил, которая находится в равновесии. Если конструкции предать малую возможную деформацию, в качестве которой возьмем действительные деформации конструкции, создаваемые первой системой нагрузок, то возможная работа внешних сил будет представлять собой только работу, совершаемую самой единичной нагрузкой. Эта возможная (виртуальная) работа равна произведению единичной нагрузки на перемещение , которое совершает точка её приложения; таким образом:

 

где величина  представляет собой искомое перемещение точки конструкции за счёт реальной нагрузки.

Рассмотрим раму (рис.13.1, а), нагруженную системой внешних сил  Пусть требуется определить перемещение  точки A в направлении AB. Воспользуемся принципом Кастилиано. Внешняя сила в точке A в направлении AB может быть, а может и не быть. Приложим в точке A в направлении AB статически возможную силу  (рис.13.1, а).

а)                                                                      б)

Рис. 13.1

 

Тогда, согласно , имеем:

Рассечём раму в стойке на расстоянии z. В поперечном сечении возникают внутренние силовые факторы N, Q, M (рис.13.1, а). От изменения (вариации) силы в точке A в поперечном сечении рамы внутренние силовые факторы изменятся на бесконечно малые величины  Эти изменения внутренних сил и моментов будут пропорциональны , т.е.

Из (2) следует, что при   коэффициенты  являются нормальной силой, изгибающим моментом, крутящим моментом, перерезывающими силами в сечении рамы с координатой z, которые вызваны действием единичной силы в точке A в направлении AB искомого перемещения (рис. 13.2).

а)                                                                            б)

Рис. 13.2

 

Так как оператор вариации  имеет смысл дифференциала, то варьируя формулу потенциальной энергии

получим:

Учитывая , подставляя в  и сокращая на , находим формулу

называемую формулой Мора. Она служит для определения любых обобщённых перемещений в стержневых системах.

Формулу Мора можно получить, пользуясь принципом возможных перемещений. Рассмотрим схему нагружения (см.рис. 13.2, а), когда в точке А в направлении искомого перемещения  приложена единичная сила , вызывающая в поперечном сечении системы внутренние силовые факторы  (рис. 13.2, б). Согласно принципу возможных перемещений работа этих внутренних силовых факторов на любых возможных перемещениях должна равняться работе единичной силы  на возможном перемещении :

Выберем возможные перемещения пропорциональными действительным:

 

Тогда после подстановки получим:

Если учесть, что

то приходим к формуле (3).

Для систем, элементы которых работают на растяжение или сжатие (например, шарнирно-стержневые системы - фермы), в формуле Мора (3) отличен от нуля будет только слагаемое, содер­жащее продольные силы.

В случае пространственной работы стержня или стержневой системы, элементы которой работают, в основном, на изгиб и кручение, в формуле Мора обычно ограничи­ваются рассмотрением слагаемых, содержащих изгибающие и кру­тящие моменты.

При расчете балок или рамных систем, работающих в основном на изгиб, влияние поперечной и продоль­ной силы на перемещение несущественно и в большинстве случаев их влияние не учитывается. В арках при определении перемещений чаще приходится учитывать все внутренние факторы и только когда ось арки близка к рациональной, то достаточно учесть нормальные усилия.

Подробно рассмотрим случай, когда брус работает только на изгиб (Mx  0, Nz = Mz = My = Qx = Qy = 0). В этой ситуации вы­ражение (3) принимает вид:

Согласно (5) для определения перемещения произвольной точки в произвольном направлении, последовательно необходимо выполнять следующее:

1. Определить выражения для внутренних усилий Mx как функции координаты х произвольного сечения для всех участков стержневой системы от действия заданной нагрузки.

2. Исключая внешние силы и в точке, где необходимо опре­делить перемещение по заданному направлению, прикладывается единичное усилие (сосредоточенная сила - если требуется определить линейное пе­ремещение; сосредоточенный момент - если требуется определить угловое перемеще­ние). На рис.13.2.1 приведены варианты приложения единичной нагрузки в зависимости от требуемой задачи: горизонтальное перемещение точки; угол поворота сечения; взаимное сближение или удаление точек; взаимный угол поворота сечений.

nem1

Рис.13.2.1

 

3. Определить выражения для внутренних усилий  как функции координаты х произвольного сечения для всех участков стержневой системы от действия единичной нагрузки.

3. Найденные выражения внутренних усилий в первом и втором состоянии подставляют в интеграл Мора и интегрируют по участкам в пределах всей стержневой системы.

Полученный по формуле Мора положительный знак перемещения показывает, что искомое перемещение происходит по направлению, совпадающему с принятым направлением единичной обобщенной силы, отрицательный знак перемещения говорит о том, что точки оси перемещаются (сечения поворачиваются) в сторону, противоположную направлению единичной обобщенной силы.

Формулы Мора пригодны и для элементов, представляющих собой стержни малой кривизны, с заменой элемента длины dz в подынтегральном выражении элементом дуги ds.

 

Примеры определения перемещений с помощью формулы Мора 

Пример 1. 

Пусть требуется в простейшей ферме (рис. 13.3) определить вертикальное и горизонтальное перемещение узла А.

а)                                                 б)                                                              в)

Рис. 13.3

 

Решение.

Усилия в стержнях фермы

Формула Мора (3) имеет вид:

Усилия  найдём из рис.13.3,б,в. При определении вертикального перемещения единичную силу приложим к узлу А в вертикальном направлении (рис. 13.3,б). Усилия  Согласно (6) получаем:

При определении горизонтального перемещения единичную силу прикладываем к узлу A в горизонтальном направлении (рис. 7.9,в). Усилия от единичной силы  Следовательно,

 

Пример 2.  

Используя формулу Мора, найти вертикальное перемещение узла В (в мм) фермы, изображенной на рис.13.3.1,а, если жесткости стержней фермы одинаковы EA=2500 кН.

Рис

Рис.13.3.1

 

Решение.

1. Определяем грузовые усилия в стержнях фермы:

Из уравнения (а) устанавливаем, что . Из уравнения (б) находим:

2. Изображаем единичное состояние системы (рис.13.3.1,б) и аналогичным образом находим усилия в стержнях фермы при единичном состоянии:

3. Подставляем полученные выражения для усилий в грузовом и единичном состояниях в формулу Мора и перемножаем. Получаем:

 

Пример 3.  

Пусть требуется определить вертикальное перемещение и угловое перемещение в точке A балки (рис. 13.4).

Рис. 13.4

 

Решение.

Для определения перемещений воспользуемся формулой Мора для обобщённых перемещений:

Из рис. 13.4 находим  Найдём сначала вертикальное перемещение точки А. Приложим к балке в точке А в вертикальном направлении единичную силу 1 (рис. 13.5, а). Находим момент  Подставляя значения моментов в формулу Мора (7), находим:

а)                                                       б)

Рис. 13.5

 

Знак плюс указывает на то, что перемещение произошло в том направлении, в котором действует единичная сила.

Найдём теперь угловое перемещение поперечного сечения в точке A. Приложим в точке A единичный момент (рис. 13.5,б) и определим  Подставляя значения моментов в (7), получим:

Поворот сечения произошёл в том же направлении, в каком производит вращение единичный момент.

На практике использование такого подхода затруднено. Эта трудность преодолевается организацией интегрирования, интегрирование легко реализуется на компьютере.

 

Пример 4. 

Пусть требуется определить вертикальное и горизонтальное перемещение точки A в кривом стержне (рис. 13.6, а) постоянного радиуса кривизны R.

а)                                                                       б)

Рис. 13.6

 

а)                                                                        б)

Рис. 13.7

 

Решение.

Для определения перемещений воспользуемся формулой Мора в виде (7), пренебрегая влиянием нормальной N и перерезывающей Q сил. Изгибающий момент в произвольном сечении, определяемом углом  (рис. 13.6, б), равен  

Для определения вертикального и горизонтального перемещений соответственно имеем (рис. 13.7).  Подставляя выражения моментов в формулу Мора в форме (7), получим:

В рассмотренном примере считается, что размеры поперечного сечения малы по сравнению с радиусом R. Это предположение позволяет использовать формулу Мора, полученную для прямого бруса, применительно к кривому брусу.

 

Пример 5.

Определить прогиб в середине пролета и угол поворота левого опорного сечения балки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой (рис.13.8, а), методом Мора.

26

Рис. 13.8

 

Решение.

Рассмотрим три состояния балки: первое (грузовое) – при действии заданной распределенной нагрузки q; ему соответствует эпюра моментов  (рис.13.8, б). Второе состояние (единичное) – при действии сосредоточенной силы , приложенной в точке С;  ему  соответствует   эпюра    моментов   (рис.13.8, в). Третье состояние (также единичное) – при действии сосредоточенного момента , приложенного в точке В; ему соответствует эпюра моментов  (рис.13.8, г). Примем начало координат на левой опоре; тогда ординаты указанных эпюр в сечении с координатой z соответственно равны:

Вычисляем прогиб балки в точке С:

Знак "+" означает, что точка С переместится в направлении действия силы .

Вычисляем угол поворота сечения В:

Знак "+" означает, что сечение В поворачивается в направлении действия момента  то есть  по часовой стрелке.

 

Пример 6.

Определить прогиб балки в середине пролета (рис.13.9, а) методом Мора. Оценить влияние поперечной силы на общую величину прогиба.

27

Рис. 13.9

 

Решение.

Рассмотрим два состояния балки. Первое состояние (грузовое) – при действии силы F (рис.13.9, а); ему соответствует эпюры изгибающих моментов  (рис.13.9, б) и поперечных сил  (рис.13.9, в).

Второе состояние (единичное) – при действии силы  (рис.13.9, г); ему соответствуют эпюры изгибающих моментов  (рис.13.9, д) и поперечных сил  (рис.13.9, е).

В связи с отсутствием продольных сил в поперечных сечениях балки интеграл Мора (3) принимает вид: