Расчетно-графические работы

 

 

Главная

 

Задача 1. Расчет статически определимого вала, работающего на кручение.

К стальному валу приложены скручивающие моменты: М1, М2, М3, М4, (рис.1). Требуется:

1) построить эпюру крутящих моментов;

2) при заданном значении [τ] определить диаметр вала из расчета на прочность и округлить его величину до ближайшей большей, соответственно равной: 30, 35, 40,45, 50, 60, 70, 80, 90, 100 мм;

3) построить эпюру углов закручивания;

4) найти наибольший относительный угол закручивания.

Данные взять из табл.1.

Таблица 1

Номер

строки

Схема

по рис.1

Расстояние, м

Моменты, кНм

[τ],

МПа

а

b

с

М1; М3

М2; М4

01

1

1,1

1,1

1,1

2,1

1,1

35

02

2

1,2

1,2

1,2

2,2

1,2

40

03

3

1,3

1,3

1,3

2,3

1,3

45

04

4

1,4

1,4

1,4

2,4

1,4

50

05

5

1,5

1,5

1,5

2,5

1,5

55

06

6

1,6

1,6

1,6

1,6

0,6

60

07

7

1,7

1,7

1,7

1,7

0,7

65

08

8

1,8

1,8

1,8

1,8

0,8

70

09

9

1,9

1,9

1,9

1,9

0,9

75

10

10

2,0

2,0

2,0

2,0

1,0

80

11

11

1,6

1,3

1,6

2,3

1,2

35

12

12

1,7

1,4

1,7

2,4

1,3

40

13

13

1,8

1,5

1,8

2,5

1,4

45

14

14

1,9

1,6

1,9

1,6

1,5

50

15

15

2,0

1,7

2,0

1,7

0,6

55

16

16

1,3

1,8

1,1

1,8

0,7

60

17

17

1,4

1,1

1,2

1,9

0,8

65

18

18

1,5

1,2

1,3

1,6

0,9

70

19

19

1,6

1,3

1,4

1,7

1,1

60

20

20

1,7

1,4

1,5

1,8

1,2

65

21

21

1,9

1,5

1,9

1,9

1,3

70

22

22

2,0

1,6

2,0

2,0

1,4

75

23

23

1,6

1,7

1,6

2,3

1,5

80

24

24

1,7

1,6

1,7

2,4

0,6

35

25

25

1,8

1,7

1,8

2,5

0,7

40

26

26

1,9

1,8

1,9

1,6

0,8

45

27

27

2,0

1,9

1,1

1,8

0,9

50

28

28

1,3

2,0

1,2

1,9

1,0

55

29

29

1,1

1,3

1,3

2,0

1,2

35

30

30

1,2

1,4

1,4

2,3

1,3

40

31

31

1,3

1,5

1,5

2,4

1,4

45

32

32

1,4

1,4

1,6

2,5

1,5

50

33

33

1,5

1,5

1,7

1,6

0,6

55

34

34

1,6

1,6

1,8

1,7

0,7

60

35

35

1,7

1,7

1,9

1,8

0,8

65

36

36

1,8

1,6

1,6

2,3

0,9

45

 

б

а

в

г

а       

б

в

                                         

1 схема                                                                2 схема

image059image060

 

3 схема                                                                4 схема

image061image062

 

5 схема                                                                6 схема

image063image064

 

7 схема                                                                8 схема

image065image066

 

9 схема                                                                10 схема

image067image068

 

11 схема                                                                12 схема

image059image060

 

13 схема                                                                14 схема

image061image062

 

15 схема                                                                16 схема

image063image064

 

17 схема                                                                18 схема

image065image066

 

19 схема                                                                20 схема

image067image068

 

21 схема                                                                22 схема

image059image060

 

23 схема                                                                24 схема

image061image062

 

25 схема                                                                26 схема

image063image064

 

27 схема                                                                28 схема

image065image066

 

29 схема                                                                30 схема

image067image068

 

31 схема                                                                32 схема

image061image062

 

33 схема                                                                34 схема

image063image064

 

35 схема                                                                36 схема

image065image066

Рис. 1

 

 

Задача 2. Подбор сечения статически определимого вала, работающего на кручение.

Для заданной расчетной схемы (рис.2) необходимо:

1) Вычертить расчетную схему вала в произвольном масштабе.

2) Построить эпюру крутящих моментов.

3) Из условия прочности определить размеры поперечного сечения вала, приняв сечение вала круглым, кольцевым, прямоугольным.

4) Построить эпюру углов закручивания для круглого вала, приняв жесткость сечения постоянной.

5) Сравнить веса валов.

Данные взять из табл.2.

Таблица 2

Номер

cтроки

Схема

по рис.2

а,

м

b,

м

с,

м

М1,

Нм

М2,

Нм

М3,

Нм

М4,

Нм

М5,

Нм

ξ=d/D

h/b

[τ],

МПа

01

1

0,2

0,7

0,5

100

500

800

400

600

0,4

1,1

50

02

2

0,3

0,6

0,6

200

600

700

300

500

0,5

1,2

60

03

3

0,4

0,5

0,4

300

700

600

800

300

0,6

1,3

70

04

4

0,5

0,4

0,3

400

800

500

700

200

0,7

1,4

80

05

5

0,6

0,3

0,5

500

900

400

600

700

0,8

1,5

90

06

6

0,7

0,2

0,8

600

1000

300

500

800

0,9

1,6

50

07

7

0,8

0,3

0,7

700

900

200

600

900

0,8

1,7

60

08

8

0,7

0,4

0,3

800

800

100

300

1000

0,7

1,8

70

09

9

0,6

0,5

0,4

900

700

1000

200

400

0,6

1,9

80

10

10

0,5

0,6

0,2

1000

100

900

300

100

0,5

2,0

90

11

11

0,3

0,6

0,6

300

600

700

800

500

0,5

1,2

60

12

12

0,4

0,5

0,4

400

700

600

700

300

0,6

1,3

70

13

13

0,5

0,4

0,3

500

800

500

600

200

0,7

1,4

80

14

14

0,6

0,3

0,5

600

900

400

500

700

0,8

1,5

90

15

15

0,7

0,2

0,8

700

1000

300

600

800

0,9

1,6

50

16

16

0,8

0,3

0,7

800

900

200

300

900

0,8

1,7

60

17

17

0,7

0,4

0,3

900

800

100

200

1000

0,7

1,8

70

18

18

0,6

0,5

0,4

1000

700

1000

300

400

0,6

1,9

80

19

19

0,5

0,7

0,5

100

600

900

800

600

0,5

2,0

90

20

20

0,5

0,6

0,6

200

700

500

700

500

0,6

1,8

60

21

21

0,6

0,5

0,4

300

800

400

600

300

0,7

1,9

70

22

22

0,7

0,4

0,3

400

900

300

500

200

0,8

2,0

80

23

23

0,8

0,3

0,5

500

1000

200

600

700

0,9

1,2

90

24

24

0,7

0,2

0,8

600

900

100

300

800

0,8

1,3

50

25

25

0,6

0,3

0,7

700

800

1000

200

900

0,7

1,4

60

26

26

0,5

0,4

0,3

800

700

900

300

1000

0,6

1,5

70

27

27

0,3

0,5

0,4

900

100

700

800

400

0,5

1,6

80

28

28

0,4

0,6

0,2

1000

600

600

700

100

0,5

1,7

90

29

29

0,5

0,6

0,6

300

700

500

600

500

0,6

1,8

60

30

30

0,6

0,5

0,4

400

800

400

500

300

0,7

1,9

70

31

31

0,7

0,4

0,3

500

900

300

600

200

0,8

2,0

80

32

32

0,8

0,3

0,5

600

1000

200

300

700

0,9

1,2

90

33

33

0,7

0,2

0,8

700

900

100

800

800

0,8

1,3

50

34

34

0,6

0,3

0,7

800

800

1000

700

900

0,8

1,4

50

35

35

0,5

0,4

0,3

900

700

700

600

500

0,9

1,5

60

36

36

0,3

0,5

0,4

300

900

600

500

300

0,8

1,6

70

 

б

г

в

б

а

в

б

а

г

а

б

в

 

1 схема                                         2 схема

 

 

3 схема                                        4 схема

 

 

5 схема                                         6 схема

 

 

7 схема                                        8 схема

 

 

9 схема                                        10 схема

 

 

11 схема                                        12 схема

 

 

13 схема                                        14 схема

 

 

15 схема                                        16 схема

 

 

17 схема                                        18 схема

 

 

19 схема                                        20 схема

 

 

21 схема                                        22 схема

 

 

23 схема                                       24 схема

 

 

25 схема                                        26 схема

 

 

27 схема                                        28 схема

 

 

29 схема                                         30 схема

 

 

31 схема                                         32 схема

 

 

33 схема                                        34 схема

 

 

35 схема                                        36 схема

Рис.2

 

 

Задача 3. Подбор сечения статически определимого вала, работающего на кручение.

К стальному брусу круглого поперечного сечения приложены четыре крутящих момента M1, M2, M3, X, три из которых известны.

Требуется:

1) установить, при каком значении момента Х угол поворота правого кон­це­вого сечения равен нулю;

2) при найденном значении Х построить эпюру крутящих моментов;

3) при заданном значении допускаемого напряжения [τ] определить диа­метр вала из условия его прочности и округлить величину диаметра до бли­жай­шей большей стандартной величины, равной 30, 35, 40, 45, 50, 60, 80, 90, 100 мм;

4) проверить, выполняется ли условие жесткости бруса при выбранном диа­метре, если допускаемый угол закручивания [θ]= 1 град/м;

5) построить эпюру углов закручивания.

Для всех вариантов принять модуль сдвига для стали G=8105 Мпа.

Числовые данные берутся из табл. 3, расчетные схемы – на рис. 3.

Таблица 3

Номер

строки

Схема

по рис. 3

Размер, м

Момент, кНм

[τ],

МПа

а

в

с

M1

M2

M3

01

1

0,8

0,4

1,0

2,0

1,6

1,0

35

02

2

0,6

0,5

0,5

1,8

1,7

1,2

40

03

3

0,4

0,7

0,7

1,7

0,9

0,7

50

04

4

0,6

0,4

0,6

1,5

0,8

1,5

45

05

5

0,5

0,8

0,4

1,3

2,0

1,4

60

06

6

0,7

1,0

0,8

1,0

1,7

2,0

40

07

7

1,0

0,7

1,0

1,6

1,5

1,6

35

08

8

0,4

0,6

0,5

1,4

1.6

1,8

70

09

9

0,7

0,4

0,6

1,5

0,8

0,9

80

10

10

0,5

0,5

0,4

0,9

1,0

1,5

60

 

з

ж

а

б

в

г

д

е

 

1 схема                                                    2 схема

12

 

 

3 схема                                                       4 схема

34

 

 

5 схема                                                        6 схема

56

 

 

7 схема                                                         8 схема

78

 

 

9 схема                                                        10 схема

910

Рис. 3

 

 

Задача 4. Расчет статически определимого вала, работающего на кручение. Определение допускаемой нагрузки.

На вал постоянного сечения насажены три шкива (рис.4). Из условия равновесия вала определить силу F3 и построить эпюру крутящего момента.

Числовые данные берутся из табл. 4, расчетные схемы – на рис. 4.

Таблица 4

Номер

cтроки

Схема

по рис.4

r1,

м

r2,

 м

r3,

 м

F1,

кН

F2,

кН

01

I

0,20

0,05

0,10

40

50

02

II

0,10

0,20

0,15

10

20

03

III

0,15

0,10

0,20

30

10

04

IV

0,20

0,10

0,30

15

10

05

V

0,10

0,15

0,20

30

20

06

VI

0,30

0,10

0,15

40

10

07

VII

0,20

0,15

0,10

20

20

08

VIII

0,15

0,20

0,05

10

30

09

IX

0,05

0,15

0,20

20

10

10

X

0,10

0,20

0,15

30

30

11

I

0,20

0,05

0,10

40

50

12

II

0,10

0,20

0,15

10

20

13

III

0,15

0,10

0,20

30

10

14

IV

0,20

0,10

0,30

15

10

15

V

0,10

0,15

0,20

30

20

16

VI

0,30

0,10

0,15

40

10

17

VII

0,20

0,15

0,10

20

20

18

VIII

0,15

0,20

0,05

10

30

19

IX

0,05

0,15

0,20

20

10

20

X

0,10

0,20

0,15

30

30

21

I

0,20

0,05

0,10

40

50

22

II

0,10

0,20

0,15

10

20

23

III

0,15

0,10

0,20

30

10

24

IV

0,20

0,10

0,30

15

10

25

V

0,10

0,15

0,20

30

20

26

VI

0,30

0,10

0,15

40

10

27

VII

0,20

0,15

0,10

20

20

28

VIII

0,15

0,20

0,05

10

30

29

IX

0,05

0,15

0,20

20

10

30

X

0,10

0,20

0,15

30

30

31

I

0,20

0,05

0,10

40

50

32

II

0,10

0,20

0,15

10

20

33

III

0,15

0,10

0,20

30

10

34

IV

0,20

0,10

0,30

15

10

35

V

0,10

0,15

0,20

30

20

36

VI

0,30

0,10

0,15

40

10

 

а

г

в

б

а

в

 

05

Рис.4

 

 

Задача 5. Расчет статически определимого вала, работающего на кручение. Построение эпюры Mk.

Вал (рис. 5) находится в равновесии под действием двух пар сил моментами M1 и M2 и двух равномерно распределенных по длине стержня моментов интенсивностью m1 и m2. Построить эпюру крутящего момента в долях ml.

Числовые данные берутся из табл. 5, расчетные схемы – на рис. 5.

Таблица 5

Номер

cтроки

Схема

по рис.5

l1/l

l2/l

m1/m

m2/m

M1/ml

M2/ml

01

I

1,0

1,5

1,0

1,0

–1,0

–2,0

02

II

2,0

1,0

2,5

–2,0

2,0

1,5

03

III

3,0

2,0

1,5

3,0

2,5

1,0

04

IV

1,5

3,0

2,0

–1,5

3,0

2,5

05

V

1,0

1,5

1,0

–2,5

–1,5

–1,0

06

VI

2,0

1,0

–1,5

–1,0

–1,5

1,0

07

VII

3,0

2,0

–2,5

2,0

2,0

–1,5

08

VIII

1,5

1,0

–1,0

–3,0

1,0

2,5

09

IX

1,0

2,0

–2,0

1,5

–2,5

–3,0

10

X

2,0

3,0

–1,0

2,5

1,5

–2,5

11

I

1,0

1,5

1,0

1,0

–1,0

–2,0

12

II

2,0

1,0

2,5

–2,0

2,0

1,5

13

III

3,0

2,0

1,5

3,0

2,5

1,0

14

IV

1,5

3,0

2,0

–1,5

3,0

2,5

15

V

1,0

1,5

1,0

–2,5

–1,5

–1,0

16

VI

2,0

1,0

–1,5

–1,0

–1,5

1,0

17

VII

3,0

2,0

–2,5

2,0

2,0

–1,5

18

VIII

1,5

1,0

–1,0

–3,0

1,0

2,5

19

IX

1,0

2,0

–2,0

1,5

–2,5

–3,0

20

X

2,0

3,0

–1,0

2,5

1,5

–2,5

21

I

1,0

1,5

1,0

1,0

–1,0

–2,0

22

II

2,0

1,0

2,5

–2,0

2,0

1,5

23

III

3,0

2,0

1,5

3,0

2,5

1,0

24

IV

1,5

3,0

2,0

–1,5

3,0

2,5

25

V

1,0

1,5

1,0

–2,5

–1,5

–1,0

26

VI

2,0

1,0

–1,5

–1,0

–1,5

1,0

27

VII

3,0

2,0

–2,5

2,0

2,0

–1,5

28

VIII

1,5

1,0

–1,0

–3,0

1,0

2,5

29

IX

1,0

2,0

–2,0

1,5

–2,5

–3,0

30

X

2,0

3,0

–1,0

2,5

1,5

–2,5

31

I

1,0

1,5

1,0

1,0

–1,0

–2,0

32

II

2,0

1,0

2,5

–2,0

2,0

1,5

33

III

3,0

2,0

1,5

3,0

2,5

1,0

34

IV

1,5

3,0

2,0

–1,5

3,0

2,5

35

V

1,0

1,5

1,0

–2,5

–1,5

–1,0

36

VI

2,0

1,0

–1,5

–1,0

–1,5

1,0

 

г

а

в

б

а

в

б

 

2пособие по сопромату задачи

Рис.5

 

 

Задача 6. Расчет статически определимого вала, работающего на кручение. Подбор сечения.

Для прямого стержня, нагруженного крутящими моментами по схеме, указанной на рис.6, необходимо:

1. Записать выражение крутящего момента M(z) и построить его график.

2. Подобрать  из расчета на прочность по теории наибольших касательных напряжений диаметр круглого поперечного сечения.

3. Подобрать из расчета на прочность размеры кольцевого сечения при условии d=α∙D.

4. Сравнить веса выбранных стержней.

5. Найти величину и направление главных напряжений в опасной точке одного из стержней.

Числовые данные берутся из табл. 6, расчетная схема – на рис.6.

image080

image079

Рис.6. Схема нагружения и поперечное сечение

 

Таблица 6

Номер

строки

l,

м

a,

м

b,

м

c,

м

e,

м

L1,

кНм

L2,

кНм

m,

кНм

α

[σ],

МПа

1

0,4

0,2

0,4

0

0,3

1,2

- 1,7

4,0

0,8

103

2

0,5

0,4

0,2

0

0,5

1

- 1,5

3,7

0,5

109

3

0,4

0,4

0,2

0,1

0,3

1,5

- 1,9

4,6

0,6

119

4

0,6

0,4

0,6

0,1

0,2

1,5

1,8

- 4,0

0,8

120

5

0,8

0,5

0,7

0,2

0,8

1,2

2,4

3,6

0,7

122

6

0,8

0,3

0,6

0,2

0,8

- 2,6

- 1,1

5,4

0,8

134

7

0,6

0,4

0,6

0,1

0,5

1,5

- 2

3,4

0,8

114

8

0,8

0,3

0,1

0,5

0,8

- 2,5

1,5

3,9

0,6

142

9

0,5

0,3

0,5

0,1

0,2

- 1,2

1,4

3,9

0,6

113

10

0,4

0,2

0,4

0,1

0,2

- 1,4

1,2

3,7

0,9

120

11

0,8

0,3

0,7

0,1

0,5

- 1,5

-2,3

6,3

0,8

100

12

0,8

0,8

0,1

0,3

0,5

- 1,8

1,3

4,5

0,5

113

13

0,4

0,1

0,3

0,2

0,4

0,9

- 1,5

3,7

0,8

121

14

0,5

0,3

0,5

0,1

0,5

- 2,4

1,7

5,4

0,6

102

15

0,6

0,1

0,5

0,2

0,6

1

- 2,6

5,5

0,6

126

16

0,7

0,7

0,3

0,3

0,7

2,2

1,7

-6,4

0,5

117

17

0,4

0,3

0,1

0

0,4

- 1

2,2

5,5

0,6

151

18

0,6

0,6

0,1

0,2

0,4

1,5

- 2,9

5,3

0,6

161

19

0,5

0,3

0,5

0,1

0,4

1,5

1,8

3,7

0,6

164

20

0,5

0,4

0,3

0,1

0,5

- 2,1

1,4

5,7

0,5

124

21

0,4

0,4

0,2

0

0,3

- 0,6

- 0,3

5,2

0,7

122

22

0,8

0,2

0,8

0,3

0,8

1,5

2,5

-3,2

0,7

150

23

0,4

0,3

0,1

0,2

0,4

- 0,5

0,5

7,6

0,7

167

24

0,5

0,3

0,5

0

0,5

- 0,6

0,4

7,3

0,9

166

25

0,8

0,6

0,8

0

0,6

- 0,7

0,6

3,7

0,7

129

26

0,6

0,3

0,1

0,2

0,6

- 1

- 0,3

5,6

0,7

100

27

0,6

0,5

0,6

0,1

0,4

- 0,7

0,3

6,9

0,5

131

28

0,4

0,4

0,2

0

0,1

0,9

- 0,5

6,4

0,6

177

29

0,4

0,1

0,2

0

0,3

- 0,6

1,5

7,1

0,8

162

30

0,6

0,3

0,1

0

0,5

1,5

- 0,8

8,9

0,7

171

 

в

г

а

б

а

г

в

б

а

г

 

 

Примеры выполнения задач

 

Пример 1

Для заданного бруса круглого сечения (рис. 7, а) требуется:

1) определить величину момента X, при котором угол поворота свободного конца бруса равен нулю,

2) по­строить эпюры крутящих моментов и углов закручивания,

3) подобрать ди­аметр сечения по условию прочности и произвести проверку бруса на жесткость.

Дано: а =0,8 м; в=1,0 м; с=0,4 м;  M1=2 кНм;  M2=0,9 кНм; M2=1 кНм;  [t]=40 МПа; G=8×104 МПа.

Рис.7. Брус, работающий на кручение:
а - расчетная схема; б - эпюра крутящих моментов;
в - эпюра углов закручивания

 

Решение.

1.Определение величи­ны неизвестного кру­тя­щего момента Х.

Брус жестко заделан левым концом А, правый конец Е свободный. В сечениях В, С, и D при­ложены известные крутя­щие моменты. Для опре­деления неизвестного мо­мента Х используем усло­вие равенства нулю угла поворота сечения Е.

Угол поворота сечения Е относительно сечения А определяется как сумма углов закручивания отдельных участков:

Крутящие моменты Mкр, входящие в выражение (1), определяются по приведенному выше правилу.

Вычисления начинаем с незакрепленного  конца:

Используя выражения (2) и сок­ра­щая на GJρ, приводим уравнение (1) к виду

(X-1,9)a+(X+0,1)b+(X+1,0)c+Xa=0.

Подставляя значения a, b, c (рис.7, а)   и решая это уравнение, получаем  Х = 0,34 кНм.

Примечание: если значение Х получится со знаком минус, направ­ление кру­тящего момента задано неправильно. В данном примере X положителен, сле­довательно, направление кру­тя­­щего момента, показанное на рис.7, пра­ви­льно.

 

2. Построение эпюры крутящих моментов.

Найденное значение Х = 0,34 кНм подставляем в выражения (2), вы­числяя таким образом величину крутящего момента на каждом участке:

;       ;   

;           

По найденным значениям Мкр строим эпюру крутящих моментов. Для это­го рассматриваем последовательно участки ЕD, DC, CB и CA. Крутящие мо­менты, действующие на этих участках, уже вычислены.

Величина крутящего момента на каждом участке не зависит от поло­же­ния се­че­ния в пределах участка (крутящий момент постоянен), поэтому эпю­ра кру­тя­щих моментов ограничена отрезками прямых  (рис.7,б). Построенная эпюра позволяет найти опасное сечение, т.е. такое, в котором действует мак­си­маль­ный (по модулю) крутящий момент.

В рассматриваемом примере опасными будут сечения в пределах учас­т­ка АВ; расчетное значение крутящего момента

   

 

3. Подбор диаметра поперечного сечения бруса.

Используем условие прочности 

Учитывая, что , выразим диаметр из условия прочности

Подставляя и [τ]=40106 Па, вычисляем диаметр по­пе­речного сечения, округляя его до стандартной величины:

 

4. Проверка условия жесткости.

Условие жесткости записываем в форме:

По условию задачи [q]= 1 град/м. Переводя значение угла из градусной меры в радианную, получаем

Вычисляем выражение, стоящее в левой части условия жесткости, опре­де­лив предварительно величину полярного момента инерции бруса:

Сравнение левой и правой частей условия жесткости показывает, что оно вы­­по­л­­няется:

 

5. Построение эпюры углов закручивания.

Вычисляем углы закручивания по участкам, используя формулу :

Угол поворота каждого сечения равен сумме углов закручивания соот­ветствующих участков бруса. Суммирование углов начинаем с незакрепленного кон­ца А:

φA=0, так как сечение в заделке неподвижно;

φB=φAB= -0,01228;

φC=φAB+φBC= -0,01228+0,0043= -0,008;

φD=φAB+φBC+φCD= -0,01228+0,0043+0,0053= -0,0027;

φE=φAB+φBC+φCD+φDE= -0,01228+0,0043+0,0053+0,0027=0.

По вычисленным углам поворота сечений построена эпюра углов закру­чи­вания (рис. 7, в).

Равенство φE=0 является проверкой решения, так как неизвестный кру­тя­щий момент Х определялся из условия равенства нулю угла поворота сво­бод­ного конца бруса.

 

 

Пример 2

К стальному валу приложены четыре сосредоточенных момента (рис. 8).

Дано: a=1,2 м,  b=1,9 м,  c=1,7 м,  M1=1,2 кНм, M2=1,9 кНм, M3=1,7 кНм, [τ]=40 Мпа. Для стали модуль поперечного сдвига равен G=80 Гпа.

Требуется:

1) построить эпюру крутящих моментов;

2) при заданном значении [τ] определить диаметр вала из расчета на прочность и округлить его до ближайшей большей величины из нормального ряда чисел: 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 125, 140, 160, 180, 200 мм;

3) найти наибольший относительный угол закручивания и проверить жесткость вала при [θ]=0,05 рад/м.

Рис. 8

Решение.

Крутящие моменты, возникающие в поперечных сечениях вала, определяются по внешним скручивающим моментам с помощью метода сечений (рис. 9):

участок № 1 (0z11,2 м), =-1,2 кНм;

участок № 2 (0z21,7 м), =-1,2+1,7=0,5 кНм;

участок № 3 (0z31,9 м), =-1,2+1,7+1,9=2,4 кНм;   

участок № 4 (0z41,2 м), =-1,2+1,7+1,9-1,2=1,2 кНм.   

Для удобства построения эпюр Мкр принимаем следующее правило знаков: крутящий момент считается положительным, если при взгляде в торец отсеченной части вала действующий на него момент представляется направленным по ходу часовой стрелки.

 

Рис. 9

 

Диаметр вала находим из условия прочности по касательным напряжениям

Принимаем d = 70 мм.

Крутильная жесткость поперечного сечения вала будет равна (полярный момент инерции для круглого сечения ) 

Наибольший относительный угол закручивания определяем по формуле

В нашем случае имеем θmax<[θ], где [θ]=0,05. Таким образом, условие жесткости (θmax[θ]) соблюдается.

 

 

Пример 3

К стальному валу приложены четыре сосредоточенных момента (рис. 10).

Дано: a= b= c=1,4 м,  M1=M2=M3=1,4 кНм, [τ]=50 Мпа. Для стали модуль поперечного сдвига равен G=8104 МПа.

Требуется:

1) Установить, при каком значении момента  угол поворота концевого сечения вала равен нулю.

2) Построить эпюру крутящих моментов.

3) Определить диаметр вала из условия прочности.

4) Построить эпюру углов закручивания.

5) Найти наибольший относительный угол закручивания.

Рис.10

Решение.

1) Найдем, при каком значении момента  угол поворота концевого сечения вала равен нулю

Получили значение момента , следовательно, нужно изменить направление действия момента.

2) Определи крутящие моменты на каждом участке вала

Участок АВ:

Участок BC:

Участок CD:

Участок DC:

По полученным результатам построим эпюру крутящих моментов (рис.11).

Рис.11. Эпюра

3) Определим диаметр вала

Условие прочности:

где  – полярный момент сопротивления сечения вала,  – наибольший по величине крутящий момент.

Примем  

4) Определим углы закручивания поперечных сечений вала

По полученным результатам построим эпюру углов закручивания (рис.12).

 

Рис.12. Эпюра

5) Наибольший относительный угол закручивания

 

 

Пример 4

К статически неопределимому валу приложены четыре сосредоточенных момента (рис. 13).

Дано: М = 12 кНм;  = 2,9 м;  = 1,3 м; d = 0,25 м.

Требуется:

1) Раскрыть статическую неопределимость.

2) Построить эпюру крутящих моментов.

3) Вычислить максимальные напряжения в сечениях на каждом участке вала.

image232

Рис.13

Решение.

Жесткость вала при кручении по всей его длине постоянна и равна GIp. Для раскрытия статической неопределимости вала выберем основную систему, отбросив правую заделку и приложив вместо нее неизвестный пока момент XB.

Составим уравнение деформаций, приравняв угол закручивания в сечении В от действия всех скручивающих моментов М, включая момент XB, нулю. При составлении уравнения деформаций будем пользоваться принципом наложения, суммируя углы закручивания от действия каждого момента в отдельности:

Отсюда определим величину

Так как нагрузка действующая на вал симметрична, то момент в сечении А будет направлен в туже сторону и равен:

Теперь при известных крутящих моментах построим эпюру крутящих моментов (рис.14).

image242

Рис.14

 

Вычислим максимальные напряжения в сечениях на каждом участке вала по формуле:

 

 

Пример 5

Для стержня постоянного сечения (рис. 15) требуется построить эпюру углов закручивания и из условия жесткости найти искомое значение диаметра стержня d. Материал стержня – сталь, G=80 Гпа.

Рис.15

Решение.

1) Построение эпюры углов закручивания.

Разобьем стержень на участки AB и BC (рис.16).

Рис.16

 

В пределах каждого участка возьмем произвольные сечения z1 и z2 соответственно.

Из условия равновесия определим момент в заделке:

Участок AB (0z1l1+ l2):

Участок BC (l1+ l2z2l1+ l2+l3):

Находим углы закручивания в долях 1/GIp.

На участке АВ:

ввиду наличия заделки в точке В.

Функцией угла закручивания на участке АВ является парабола, вторая производная от которой отрицательна, следовательно, парабола выпуклая.

На участке ВС:

По полученным данным строим эпюру углов закручивания Эφ в долях от GIp (рис. 16).

2) Расчет на жесткость.

По условию жесткости, максимальный угол поворота не должен превышать допускаемый []=0,001рад/м, то есть . Из эпюры углов поворота, построенной в долях от GIp видно, что максимальный угол поворота находится в сечении А .

Полярный момент инерции сечения , откуда найдем диаметр стержня:

Примем (из ряда Ra40 по ГОСТ 6636-69) d=160 мм.

Окончательно рассчитывая углы поворота в каждом сечении, получаем  рад/м; =0 рад/м; рад/м;

По полученным данным строим эпюру углов закручивания Э (рис.16).

 

Онлайн-калькулятор "Расчет прочности при кручении вала круглого сечения"

 


email: KarimovI@rambler.ru

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

 

Теоретическая механика   Строительная механика

Прикладная механика  Детали машин  Теория машин и механизмов

 

 

 

00:00:00

 

Top.Mail.Ru