Расчетно-графические работы

 

Главная

 

Задача 1. Статически определимые стержневые системы, работающие на растяжение-сжатие.

Два стальных (1 и 2) стержня, шарнирно соединенных в точке А, находятся под действием силы Р (рис.1). Первый стержень имеет длину с и площадь поперечного сечения A, второй - длину а и площадь – 2A.

1) Найти величину нормальных напряжений, действующих в стержнях.

2) Найти абсолютную и относительную деформации стержней.

Данные взять из табл.1.

Таблица 1

Номер

cтроки

Схема

по рис.1

А,

см2

а,

м

с,

м

P,

кН

01

1

11

2

2,1

100

02

2

12

2,1

2,2

120

03

3

13

2,2

2,3

130

04

4

14

2,4

2,4

140

05

5

15

2,6

2,5

150

06

6

16

2,8

2,6

160

07

7

17

2,8

2,7

170

08

8

18

2,7

2,8

180

09

9

19

2,9

2,9

180

10

10

20

2,4

3,0

200

11

11

11

2,6

2,1

100

12

12

12

2,8

2,2

120

13

13

13

2,8

2,3

130

14

14

14

2,7

2,4

140

15

15

15

2,9

2,5

150

16

16

16

2

2,6

160

17

17

17

2,1

2,7

170

18

18

18

2,2

2,8

180

19

19

19

2,4

2,9

180

20

20

20

2,6

3,0

200

21

21

11

2,8

2,1

100

22

22

12

2,8

2,2

120

23

23

13

2,7

2,3

130

24

24

14

2,9

2,4

140

25

25

15

2

2,5

150

26

26

16

2,1

2,6

160

27

27

17

2,2

2,7

170

28

28

18

2,4

2,8

180

29

29

19

2,6

2,9

180

30

30

20

2,8

3,0

200

31

31

15

2,8

2,2

100

32

32

16

2,7

2,3

120

33

33

17

2,9

2,4

130

34

34

18

2,2

2,5

140

35

35

19

2,4

2,6

150

36

36

20

2,6

2,7

160

 

а

б

в

г

а

 

1 схема                    2 схема                           3 схема

image011image012image013

 

4 схема                             5 схема                                  6 схема

image014image015image016

 

7 схема                             8 схема                                  9 схема

image017image018image019

 

10 схема                             11 схема                       12 схема

image020image011image012

 

13 схема                             14 схема                                  15 схема

image013image014image015

 

 

16 схема                             17 схема                                  18 схема

image016image017image018

 

19 схема                             20 схема                       21 схема

image019image020image011

 

22 схема                             23 схема                              24 схема

image012image013image014

 

 

25 схема                             26 схема                                  27 схема

image015image016image017

 

28 схема                              29 схема                                              30 схема

image018image019image020

 

31 схема                           32 схема                                33 схема

image011image012image013

 

34 схема                              35 схема                                  36 схема

image014image015image016

Рис. 1

 

Задача 2. Определение грузоподъемности статически определимой стержневой конструкции, работающей на растяжение-сжатие

Исходные данные к задаче выбираются по табл. 2 и схемам на рис. 2

1. Нарисуйте схему конструкции в масштабе. На рисунке поставьте размеры конструкции в численном виде.

2. Найдите продольные силы в стержнях конструкции, используя метод сечений. Если на расчетной схеме стержень выделен жирной линией, то этот стержень следует считать абсолютно жестким. (Он не деформируется и продольная сила в нем равна нулю).

3. Найдите напряжения в стержнях, выразив их через неизвестную нагрузку.

4. Из условия прочности наиболее напряженного стержня найдите допускаемое значение нагрузки.

5. Найдите перемещение узла С и покажите его на плане перемещений.

 

Таблица 2

Номер

строки

a,

м

Сечение

стержня

b,

м

Схема

по рис. 2

α,

град

Сечение

стержня 2

l,

м

β,

град

 

γ,

град

01

2,5

Уголок 100x7

1,9

1

60

Двутавр № 10

-

60

30

02

2,6

Уголок 125x8

1,8

2

75

Двутавр № 12

-

45

15

03

2,7

2 уголка 50x5

1,7

3

30

-

4,5

30

0

04

2,8

2 уголка 75x5

1,6

4

-

-

4,6

90

45

05

2,9

Уголок 140x9

1,5

5

-

-

4,7

75

-30

06

3,0

Уголок 160x10

1,4

6

-

-

4,8

60

-45

07

3,1

2 уголка 63x4

1,3

7

-

Двутавр № 16

4,9

90

-15

08

3,2

2 уголка 50x4

1,2

8

-

-

5,0

75

15

09

3,3

Швеллер № 10

1,1

9

-

-

5,1

30

45

10

3,4

Швеллер № 12

1,0

10

-

Двутавр № 14

5,2

60

0

 

г

а

в

б

г

а

в

б

г

 

 

       1 схема                              2 схема                                                    

1    2 

 

3 схема                        4 схема

3    4 

 

5 схема                        6 схема                    

5   6

 

 

       7 схема                                8 схема                        

7    8

 

9 схема                                     10 схема

 9   0

Рис. 2

 

Задача 3. Статически определимые стержневые системы растяжения-сжатия.

Плоская шарнирно-стержневая система загружена в узле силой F (на рис. 3).

Требуется:

1. Определить усилия в стержнях.

2. Подобрать размеры поперечных сечений стержней. Стержень 1 стальной, круглого поперечного сечения, стержень 2 стальной квадратного сечения.

3. Вычислить удлинения (укорочения) стержней и построить план перемещений.

4. Определить перемещение узла.

При расчете считать, что устойчивость сжатых стержней (если таковые в системе имеются) обеспечена.

Для всех вариантов принять расчетное сопротивление стали R =240 МПа,  модуль упругости   E=2105 МПа. Остальные данные взять из табл. 3.

 

Таблица 3

Номер
строки

Схема

по рис.3

F,

кН

а,

м

b,

м

Угол, град.

α

β

01

1

160

2,0

3,5

30

50

02

2

120

3,2

2,5

40

60

03

3

240

2,4

3,0

50

45

04

4

320

4,0

2,4

60

40

05

5

280

2,5

5,0

30

60

06

6

260

5,0

4,5

50

30

07

7

140

4,5

3,6

40

30

08

8

160

3,6

3,8

70

50

09

9

220

3,2

3,6

30

40

10

10

250

3,8

4,0

60

70

 

е

д

в

б

г

а

Примечание. Для схем 1, 2, 5, 8 и 9 значение угла β - опустить

 

              1 схема                              2 схема                               

1  2  

 

     3 схема                                     4 схема                    

3     4 

 

     5 схема                            6 схема                                

5             6

 

      7 схема                               8 схема                       

 

7          8 

 

9 схема                                   10 схема

9      10

Рис. 3

 

Задача 4. Расчет шарнирно-стержневого кронштейна.

Шарнирно-стержневой кронштейн изготовлен из двух стержней. Один из них стальной с допускаемым напряжением [σ]=160 МПа, другой чугунный с допускаемым напряжением при растяжении [σt]=40 МПа и при сжатии – [σc]=80 МПа. Требуется подобрать сечения стержней из условия прочности, сделав растянутый стержень стальным, а сжатый – чугунным.

Исходные данные к задаче выбираются по табл. 4 и схемам на рис. 4.

Таблица 4

Номер

cтроки

Схема

по рис.4

P,

кН

01

1

100

02

2

120

03

3

130

04

4

140

05

5

150

06

6

160

07

7

170

08

8

180

09

9

180

10

10

200

11

1

100

12

2

120

13

3

130

14

4

140

15

5

150

16

6

160

17

7

170

18

8

180

19

9

180

20

10

200

21

1

100

22

2

120

23

3

130

24

4

140

25

5

150

26

6

160

27

7

170

28

8

180

29

9

180

30

10

200

 

а

б

 

       1 схема                                              2 схема                               

рис    рис

 

     3 схема                                            4 схема                    

рис      рис

 

     5 схема                                           6 схема                                

рис             рис

 

      7 схема                                              8 схема                       

рисрис

           

 

9 схема                                                     10 схема

рис      рис

Рис. 4

 

Задача 5. Расчет плоской шарнирно-стержневой системы.

Для плоской шарнирно-стержневой системы (рис. 5,а, табл.5), состоящей из трех деформируемых стержней и абсолютно жесткого тела, требуется:

1. Определить усилия в деформируемых стержнях (в долях ql);

2. Из расчета на прочность найти площади поперечных сечений стержней;

3. Учитывая, что каждый стержень фермы состоит из двух одинаковых равнополочных уголков (рис. 5,б), подобрать по ГОСТ 8509-72, соответствующий номер профиля.

Дано: материал – Сталь 5; [n] = 1,4;  l = 50 см;  q = 200 кН/м,  σт=280 Мпа.

Таблица 5

Номер

cтроки

Схема

по рис.5

b/l

β,

град

F/ql

01

I

1,0

30

1,0

02

II

1,5

45

1,5

03

III

2,0

60

2,5

04

IV

3,0

30

3,0

05

V

2,5

45

2,0

06

VI

1,0

60

–1,0

07

I

1,5

30

–1,5

08

II

2,0

45

–2,0

09

III

3,0

60

–2,5

10

IV

2,5

30

–3,0

11

V

1,0

30

1,0

12

VI

1,5

45

1,5

13

I

2,0

60

2,5

14

II

3,0

30

3,0

15

III

2,5

45

2,0

16

IV

1,0

60

–1,0

17

V

1,5

30

–1,5

18

VI

2,0

45

–2,0

19

I

3,0

60

–2,5

20

II

2,5

30

–3,0

21

III

1,0

30

1,0

22

IV

1,5

45

1,5

23

V

2,0

60

2,5

24

VI

3,0

30

3,0

25

I

2,5

45

2,0

26

II

1,0

60

–1,0

27

III

1,5

30

–1,5

28

IV

2,0

45

–2,0

29

V

3,0

60

–2,5

30

VI

2,5

30

–3,0

 

в

г

а

б

2пособие по сопромату задачи

2пособие по сопромату задачи

Рис.5,а

 

2пособие по сопромату задачи

Рис.5,б

 

 

Примеры выполнения задач

Пример 1

Для заданной стержневой системы (рис. 6).

1. Определить усилия в стержнях;

2. Вычислить напряжения в поперечных сечениях стрежней.

3. Проверить прочность стержней, указав на сколько (в процентах) каждый из стержней недогружен или перегружен. Материал стержней сталь Ст.3, имеющая предел текучести σт = 240МПа, требуемый коэффициент запаса по отношению к пределу текучести [nт] = 1,5.

Рис.6

 

К решению подобного типа задач рекомендуется приступать, повторив раздел "статики" составление и решение уравнений равновесия плоской системы произвольно расположенных сил и иметь четкое представление об определении допускаемых напряжений и расчетах на прочность при растяжении и сжатии.

В первую очередь освобождают тело от связей и заменяют их действие на него реакциями связей, которые равны по величине продольным силам. Составляя уравнения равновесия для внешних сил, действующих на систему, и реакций связей, определяют продольные силы в поперечных сечениях бруса.

Площади поперечных сечений стержней определяют для нестандартных профилей, по формулам:

- круглое поперечное сечение , где d – диаметр стержня,

- прямоугольное сечение А = вh, где в и h стороны прямоугольного сечения.

Для профилей стандартного проката (равнополочные и неравнополочные угловые профили, швеллеры и двутавры) площади поперечных сечений определяются по таблицам ГОСТ.

Допускаемое напряжение определяется отношением предела текучести к требуемому (заданному) коэффициенту запаса [σ] = σт/[nт].

 

Решение.

1) Применяем метод сечений и рассматриваем равновесие стержневой системы под действием сил F1, F2 и продольных сил N1, N2, N3. Начало координат возьмем в точке В, направим ось х по оси балки АВ, а ось y вертикально вверх. Спроектировать все силы на ось Вх, получим

ΣFix = -N2sinα + N3sinβ = 0                                     (1)

Спроектировав все силы на ось Вх, получим

ΣFiy = N2cosα + N3cosβ  + N1F1F2 = 0              (2)

Взяв сумму моментов всех сил относительно точки В (в которой пересекаются две неизвестные силы N2 и N3), получим

ΣМВ(Fi) = -N1·4а + F1·3а + F2·а  = 0,                           (3)

откуда

Решим совместно уравнения (1) и (2). Из уравнения (1)

-N2sin600 + N3cos450 = 0

выражаем                                              (4)

поставим N2 в уравнение (2)

 

N3 = кН;     N3 = 8,04 кН

Подставив N3 в уравнение (4), получим

N2 = 6,56 кН

 

2) Определяем площади поперечных сечений стержней

А1 = в2 = 10·10 = 100 мм2

Нормальные напряжения в поперечных сечениях стержней определяем по формуле  

 

 

3) Проверка прочности.

Определяем допускаемое напряжение  

стержень 1  на 31,25% недогружен,

стержень 2    на 45% перегружен,

стержень 3    на 77,5% перегружен.

Следовательно, надо увеличить диаметр первого стержня и уменьшить диаметры 2 и 3 стержней.

 

Пример 2

Определение размеров поперечного сечения стержней.

Емкость для хранения воды, представляет собой конструкцию АВСД, деформацией которой пренебрегаем, прикреплена к фундаменту при помощи стержней 1, 2, 3. Вес конструкции и боковое давление на нее указаны на рис. 7.

Определить из условия прочности требуемые размеры поперечных сечений стальных стержней, составленных из прокатных профилей, если для стержней, работающих на растяжение, допускаемое напряжение [σt] = 160 МПа; для стержней работающих на сжатие, допускаемое напряжение на сжатие [σс] = 100 МПа.

Рис.7

 

Решение.

При расчете стержневых конструкций надо иметь ввиду, что если стержни закреплены по концам шарнирно, то реакции стержней действуют вдоль оси стержня, т.е. имеет место одноосное нагружение.

Применяем метод сечений и рассматриваем равновесие конструкции АВСД под действием заданных нагрузок F и q и реакций стержней N1, N2, N3, которые направляем от узлов. В случае, если в результате определения их величин, они окажутся отрицательными, это будет свидетельствовать о том, что их направления первоначально были выбраны неправильно и соответствующий стержень сжат. Полагая все три стержня растянутыми, направляем усилия N1, N2, N3 так, как показано на (рис. 7,б).

Для равновесия конструкции АВСД в плоскости составляют три уравнения равновесия:

- сумма проекций всех сил и сил реакций связей на одну из координатных осей равна нулю:        

ΣFiх = 0;

- сумма проекций всех сил и сил реакций связей на другую ось плоскости действия сил равна нулю:

ΣFiy = 0;

- сумма моментов всех внешних сил и сил реакций связей относительно любой точки этой плоскости равна нулю:

Σ МД (Fi) = 0, где Д произвольна.

Направим координатные оси, как показано на рис. 7,б. Тогда

1. ΣFiх = q·2 – N2 cosα = 0

2. ΣFiy = -N1FN2 sinαN3 = 0

3.  ΣМД (Fi) = q·2·1 + N1·4 + F·2 = 0

Отсюда находим из (3) уравнения

N1 = -141 кН,  т.е. стержень 1 – сжат

из уравнения (1)

где : т.к.

N2 = 45 кН,  т.е. стержень 2 – растянут.

Подставляя N1 и N2 в уравнение (2), определим N3;

+141 – 300 - 45·0,6 - N3 = 0

N3 = +141 – 300 – 27,0 = -186 кН

N3 = -186 кН  т.е. стержень 3 – сжат.

Определяем площади поперечных сечений стержней. Из условия прочности стержня 1.

Определяем необходимую площадь его поперечного сечения

Так как стержень 1 состоит из двух швеллеров, то площадь поперечного сечения одного швеллера равна

из таблиц Сортамента по ГОСТ 8240-89 ближайший номер швеллера № 6,5, у которого А= 7,51 см2.

Выбираем для стержня 1 два швеллера № 6,5 А1= 7,51 см2.

Из условия прочности стержня 2

Определяем необходимую площадь его поперечного сечения

Так как стержень 2 состоит из двух равнополочных уголков, то

По ГОСТ 8509-86 ближайший уголок № 2  20х20х4  А = 1,46 см2.

Выбираем для стержня 2 два равнополочных уголка №2 20х20х4 А=1,46 см2.

Из условия прочности стержня 3

Определяем необходимую площадь его поперечного сечения

так как стержень 3 состоит из двух швеллеров, то

по ГОСТ 8240-89 ближайший швеллер № 8  А= 8,98 см2

Выбираем для стержня 3 два швеллера № 8  А= 8,98 см2

 

 

Пример 3

Стержень ВС кронштейна (рис. 8,а) составлен из двух стальных равнополочных уголков 50х50х5, а стержень АВ – из двух стальных швеллеров №8.

Требуется определить допускаемые значения силы F, действующей на стальной кронштейн в точке В, если допускаемые напряжения для материала на растяжение [σt] = 160 МН/м2, [σс] = 100 МН/м2.

Рис.8

 

Решение.

Вырежем мысленно узел В (рис.8,б). Обозначим продольную силу в стержне ВС через N1, а в стержне АВ N2 и рассмотрим условие равновесия узла В.

Для данной системы сходящихся сил можно составить два уравнения равновесия:

ΣFix = N1 + N2·cosα= 0

ΣFiy = -F - N2·sinα= 0

Из 2го уравнения получаем

Следовательно, стержень АВ сжат силой N2.

Из 1го уравнения  т.е. элемент ВС растянут силой N1.

Из треугольника АВС определим значение sinα и ctgα. По теореме Пифагора

АВ2=АС2+ВС2  отсюда,

Тогда                     

Определяем значения N1 и N2, выраженные через силу F.

Из условия прочности  максимальные продольные усилия, которые можно допустить в поперечных сечения стержней равны:

[N1] = [σр]·A1 = 160·480·2 = 921600 Н, где A1 = 4,8·2 = 9,6 см2 для двух уголков 50х50х5.

[N2] = [σс]·A2 = 100·898 = 89800 Н, где A2 = 8,98 см2 для швеллера № 8.

Следовательно, исходя из расчета прочности кронштейна по слабому звену, допустимая нагрузка из соотношения N2 = -1,67F равна

Ответ: [F] =53,8 кН.

 

 

Пример 4

Шарнирно-стержневой кронштейн изготовлен из двух стержней (рис. 9). Один из них стальной с допускаемым напряжением [σ] = 160 Мпа , другой чугунный с допускаемым напряжением при растяжении [σt] = 40 Мпа и при сжатии – [σc] = 80 Мпа. Требуется подобрать сечения стержней из условия их прочности, сделав растянутый стержень стальным, а сжатый – чугунным.

рис

Рис.9

Решение.

Полагая стержни растянутыми, изобразим силы, приложенные к узлу В.

Уравнения равновесия системы сходящихся сил

Решение уравнений:

Отрицательное значение силы N2 говорит о том, что стержень 2 сжат и его следует по условию задачи сделать чугунным с допускаемым напряжением [σc] = 80 Мпа.

По условию прочности

требуемая площадь поперечного сечения первого стержня, изготовленного из стали,

Площадь сечения второго стержня


email: KarimovI@rambler.ru

Адрес: Россия, 450071, г.Уфа, почтовый ящик 21

 

Теоретическая механика   Строительная механика

Прикладная механика  Детали машин  Теория машин и механизмов

 

 

 

 

Рейтинг@Mail.ru Каталог-Молдова - Ranker, Statistics

Directrix.ru - рейтинг, каталог сайтов