Изгиб

 

Главная

 

Лекция 6. Плоский изгиб

 

Содержание

Общие сведения

Механические испытания на изгиб

Построение эпюр поперечной силы и изгибающего момента

Основные дифференциальные соотношения теории изгиба

Примеры построения эпюр внутренних силовых факторов для консольных балок

Примеры построения эпюр внутренних силовых факторов для балок на двух опорах

Другие подходы к построению эпюр внутренних силовых факторов

Напряжение при чистом изгибе

Энергия упругих деформаций балки

Касательные напряжения при поперечном изгибе. Главные напряжения при изгибе

Рациональные формы поперечных сечений при изгибе

Полная проверка прочности. Опасные сечения и опасные точки

Перемещения при изгибе балок. Дифференциальное уравнение изогнутой оси упругой балки

Пределы применимости приближенной теории из­гиба балок

Общие дифференциальные соотношения при изгибе

Интегрирование дифференциального уравнения изогнутой оси балки методом начальных пара­метров

Простейшие статически неопределимые задачи при изгибе. Метод сравнения (наложения) пере­мещений

Расчет на прочность простейших статически неопределимых балок методом допускаемых нагрузок

Изгиб балок переменного поперечного сечения

Балка равного сопротивления

Балка на упругом основании

Изгиб составных балок

Вопросы для самопроверки

 

Общие сведения

Изгибом называется вид нагружения бруса, при котором к нему прикладывается поперечная нагрузка, лежащая в плоскости проходящей через продольную ось (рис.6.1, а). В этой же плоскости располагается изогнутая ось стержня (упругая линия) (рис.6.1, б). Брус, работающий при изгибе, называется балкой. Конструкция, состоящая из нескольких изгибаемых стержней, соединенных между собой чаще всего под углом 90°, называется рамой.

Изгиб называется плоским или прямым, если плоскость действия нагрузки проходит через главную центральную ось инерции сечения (рис.6.1).

image108

Рис.6.1

 

При плоском поперечном изгибе в балке возникают два вида внутренних усилий (рис.6.1,в): поперечная сила Qy , где y – ось симметрии (главная центральная ось) и изгибающий момент Mx. , где x – другая главная центральная ось сечения, нормальная к оси симметрии. В раме при плоском поперечном изгибе возникают три усилия: продольная N,  поперечная Q силы и изгибающий момент M.

Если изгибающий момент Mx является единственным внутренним силовым фактором, то такой изгиб называется чистым (рис.6.2). При наличии поперечной силы Qy изгиб называется поперечным. Строго говоря, к простым видам сопротивления относится лишь чистый изгиб; попереч­ный изгиб относят к простым видам сопротивления условно, так как в большинстве слу­чаев (для достаточно длинных балок) действием поперечной силы при расчетах на проч­ность можно пренебречь.

Косой изгиб - изгиб, при котором нагрузки действуют в одной плоскости, не совпадающей с главными плоскостями инерции.

Сложный изгиб - изгиб, при котором нагрузки действуют в различных (произвольных) плоскостях.

Далее будем рассматривать плоский изгиб, то есть все силы будем прилагать в плоскости симметрии балки.

Рис.6.2

 

Осваивать расчет балок и рам удобно, рассматривая по очереди следующие вопросы:

- Определение внутренних усилий в балках и построение эпюр внутренних усилий.

- Проверка прочности балок.

- Определение перемещений и проверка жесткости балок.

Решение этих вопросов получим в соответствующих разделах на примере конкретных задач.

 

Механические испытания на изгиб

Испытания на изгиб часто используются для оценки механических свойств материалов в хрупком или малопластичном состоянии, при воздействии коррозионной среды (коррозии под напряжением), а также для оценки пластичности и качества сварных соединений. Испытание на изгиб воспроизводит характерные для многих конструктивных элементов условия механического нагружения и позволяет выявить свойства поверхностных слоев, наиболее напряженных при разрушении.

Чаще всего образцы нагружают по схемам так называемого трехточечного (рис.6.3,а) и четырехточечного (рис.6.3,б) изгиба.

Ocr0196

Рис.6.3

 

Результаты испытания на изгиб представляются в виде диаграммы P-f, где P- изгибающая нагрузка, f - стрела прогиба образца. Характерные диаграммы изгиба для хрупких (малопластичных) и пластичных материалов приведены на рис.6.4. Для хрупких материалов последняя точка диаграммы соответствует разрушению без практически остаточных деформаций. По разрушающей нагрузке определяют предел прочности материала при изгибе . Пластичные материалы, как правило, невозможно довести до разрушения: образец изгибается до состояния, когда его части располагаются параллельно друг другу.  

Ocr0197

Рис.6.4

 

При испытании пластичных материалов можно определить сопротивление материала начальным пластическим деформациям, воспользовавшись методикой, аналогичной применяемой при растяжении для определения соответствующих характеристик, без учета пластического перераспределения напряжений в процессе изгиба.

 

Построение эпюр поперечной силы и изгибающего момента

Для того, чтобы произвести расчет балки на изгиб, необходимо знать величину наибольшего изгибающего момента М и положение сечения, в котором он возникает. Точно также, надо знать и наибольшую поперечную силу Q. Для этой цели строят эпюры изгибающих моментов и поперечных сил. По эпюрам легко судить о том, где будет максимальное значение момента или поперечной силы.

Эпюра внутренней силы – график, показывающий изменение этой силы по длине балки.

Для построения эпюр балка разбивается на участки, в пределах которых функция внутренней силы не меняет своего аналитического выражения. За границы участков принимаются сечения, в которых приложены внешние нагрузки: сосредоточенные силы, сосредоточенные моменты, начинается или заканчивается распределенная нагрузка одного направления и изменяющаяся по одному закону, а также начало и конец балки.

Последовательно на каждом участке вводится скользящая система координатных осей (начало координат совмещается с началом участка) и для произвольного сечения составляются выражения для определения поперечной силы и изгибающего момента. Затем по этим выражениям в пределах каждого участка строятся графики (эпюры) внутренних сил.

Перед тем, как определять внутренние усилия (поперечные силы и изгибающие моменты) и строить эпюры, как правило, надо найти опорные реакции, возникающие в закреплении стержня. Если опорные реакции и внутренние усилия можно найти из уравнений статики, то конструкция называется статически определимой. Чаще всего мы встречаемся с тремя видами опорных закреплений стержней: жестким защемлением (заделкой), шарнирно-неподвижной опорой и шарнирно-подвижной опорой. На рис. 6.5 показаны эти закрепления. Для неподвижной (рис 6.5,б) и подвижной (рис. 6.5,в) опор приведены два эквивалентных обозначения этих закреплений. Напомним, что при действии нагрузки в одной плоскости в заделке возникают три опорных реакции (вертикальная, горизонтальная реакции и сосредоточенный реактивный момент) (рис. 6.5,а); в шарнирно-неподвижной опоре – две реактивные силы (рис. 6.3,б); в шарнирно-подвижной опоре – одна реакция – сила, перпендикулярная плоскости опирания (рис.6.5,в).

Рис. 6.5. Опорные реакции: а – в заделке; б – в шарнирно-неподвижной опоре;

в – в шарнирно-подвижной опоре

 

Комбинируя различные типы закреплений, можно получить ряд схем балок:

1. Балка шарнирно опертая по концам (рис.6.6,а). Одна опора шарнирно подвижная, другая – шарнирно неподвижная. Расстояние между центрами опор на схеме называется пролетом. Число реакций равно трем. Учитывая, что для плоской системы сил можно составить три независимых уравнения равновесия системы в целом, приходим к заключению, что балка статически определимая.

2. Балка шарнирно опертая с консолями (С1 и С2) (рис.6.6,б). Реакции те же. Балка статически определимая.

3. Балка жестко закрепленная одним концом (консольная балка) (рис.6.6,в). В заделке три реакции. Балка статически определимая. При действии нагрузки перпендикулярной оси реакция НВ всегда равна 0.

image007

Рис.6.6

 

После определения опорных реакций внутренние усилия в статически определимых конструкциях определяем с помощью метода сечений.

Как было сказано выше, при плоском поперечном изгибе в балке возникают два внутренних усилия: поперечная сила Q и изгибающий момент M. В соответствии с методом сечений поперечную силу можно найти как сумму проекций всех внешних сил, взятых с одной стороны от сечения, на ось, перпендикулярную оси стержня (ось z). Изгибающий момент равен сумме моментов всех внешних сил, взятых с одной стороны от сечения, относительно оси, проходящей через центр тяжести рассматриваемого сечения (оси y).

Для того чтобы можно было вести расчет с любого конца балки, необходимо принять правило знаков для внутренних силовых факторов.

а)                                                                                                                     б)

Рис.6.7. а - правило знаков для поперечной силы Q; б - правило знаков для изгибающего момента M.

 

Если внешняя сила вращает отрезанную часть балки по часовой стрелке, то сила является положительной, если внешняя сила вращает отрезанную часть балки против хода часовой стрелки, то сила является отрицательной.

Если под действием внешней силы изогнутая ось балки принимает вид вогнутой чаши, такой, что идущий сверху дождь будет наполнять ее водой, то изгибающий момент является положительным. Если под действием внешней силы изогнутая ось балки принимает вид выпуклой чаши, такой, что идущий сверху дождь не будет наполнять ее водой, то изгибающий момент является отрицательным.

Достаточно очевидно и подтверждается опытом, что балка при изгибе деформируется таким образом, что волокна, расположенные в выпуклой части, растягиваются, а в вогнутой – сжимаются. Между ними лежит слой волокон, который лишь искривляется, не изменяя своей первоначальной длины (рис.6.8). Этот слой называется нейтральным или нулевым, а его след на плоскости поперечного сечения – нейтральной (нулевой) линией или осью.

Рис.6.8

 

При построении эпюр Q и М договоримся на эпюре Q положительные значения откладывать сверху нулевой линии. На эпюре М у строителей принято откладывать положительные ординаты снизу. Такое правило построения эпюры М называется построением эпюры со стороны растянутых волокон, т. е. положительные значения М откладываются в сторону выпуклости изогнутой балки.

Рассмотрим для простоты балку с прямоугольным поперечным сечением (рис.6.9). Следуя методу сечений, мысленно проведем разрез и отбросим какую-либо часть балки, а другую оставим. На оставшейся части покажем действующие на нее силы и в поперечном сечении – внутренние силовые факторы, которые являются результатом приведения к центру сечения сил, действующих на отброшенную часть. Учитывая, что внешние силы и распределенные нагрузки лежат в одной плоскости и действуют перпендикулярно оси балки, в сечении получим поперечную силу Qy и изгибающий момент Mx. Эти внутренние силовые факторы заранее неизвестны, поэтому их показывают в положительном направлении в соответствии с принятыми правилами знаков.

image009

Рис.6.9

 

На рис.6.9 показаны два случая оставшейся части: левая и правая.

Для определения величины Qy и Mx составляются два уравнения равновесия для оставшейся части

Изгибающий момент Mx, действующий в поперечном сечении балки, по величине равен сумме моментов всех внешних сил, приложенных к рассматриваемой отсеченной части бруса, относительно центральной оси x этого сечения:

Если внешняя сила в данном сечении растягивает нижние волокна балки, то момент этой силы в этом сечении считается положительным, если растягиваются верхние волокна балки, то момент этой силы будет отрицательным.

Поперечная сила Qy в сечении бруса, по величине равна сумме проекций всех внешних сил, действующих на отсеченную часть бруса, на ось перпендикулярную оси бруса (ось y):

Уравнение момента составляется относительно оси Х, проходящей в поперечном сечении через точку на оси балки – тогда поперечная сила в уравнение не входит и величина Mx определяется независимо от Qy. Можно доказать, что результат вычислений Qy и Mx не зависит от того, равновесие какой оставшейся части рассматривается.

Рассмотрим характерный пример (рис. 6.10,а) и установим не­обходимые правила. Решение задачи, как правило, начинается с определения полной системы внешних сил. Для этого отбросим опоры и заменим их соответствующими реакциями (рис. 6.10,б), выполняющими ту же роль, что и опорные закрепления.

Заданная система статически определима, следовательно, из ус­ловий равновесия системы, т.е. равенства нулю суммы моментов всех сил относительно шарнирных опор (в шарнирах нет ограниче­ний поворота сечений балки, поэтому изгибающих моментов не возникает)  и , определяем вертикальные реакции в опорах:

Для определения  имеем: откуда . Для проверки правильности вычислений воспользуемся усло­вием равенства нулю суммы всех вертикальных сил  откуда получим

0 = 0.

Рис. 6.10

               

Для определения внутренних силовых факторов - изгибающего момента М(z) и поперечной силы Q(z) как функций от продоль­ной координаты z, воспользуемся методом сечений. Для полу­чения этих зависимостей балку разбивают на участки, границами которых являются следующие точки: начало и конец балки; точки приложения сосредоточенных усилий; начало и конец действия распределенных усилий; сечения, в которых скачкообразно изменя­ется жесткость балки; в точках, где происходит изменение ориен­тации элементов, если имеем дело с стержневой системой со сложной структурой.

Заданная система состоит из двух участков - первого (0za) и второго (aza+b). Следовательно, задавая последовательно сечения, принадлежащие к первому и второму участкам, и рассмат­ривая равновесие отсеченных частей системы при действии на них всех внешних сил и внутренних уси­лий, определим выражения для внутренних сило­вых факторов.

Из условия равновесия  отсеченной части системы, расположенной левее от сечения z1 (первый участок), (см. рис. 6.10, в), получим:

Для определения Qy и Mx на втором участке рассмотрим рав­новесие отсеченной части балки, расположенной правее от сечения z2 (см. рис. 6.10, б), т.е.  откуда и определим:

Эпюры Qy и Mx изображены на рис. 6.11. Заметим, что эпюры изгибающих моментов Mx, как и поперечных сил Qy строятся на оси бруса, однако в отличие от эпюры поперечных сил знак момента не указывается, а ординаты изгибающего момента откла­дываются co стороны растянутых волокон.

Рис. 6.11

 

Основные дифференциальные соотношения теории изгиба

Пусть брус нагружен произвольным образом распределенной нагрузкой q=f(z) (рис. 6.12,а).

Рис. 6.12

               

Выделим из бруса элемент длиной dz и приложим по его краям положительные внутренние усилия (рис. 6.12,б). В пределах малого отрезка dz нагрузку q можно считать распределенной равномерно. Приравняем нулю сумму проекций всех сил на вертикальную ось y и сумму моментов всех сил относительно поперечной оси x, прохо­дящей через точку С (рис. 6.12,б), получим:

Производя упрощения и отбрасывая величины высшего поряд­ка малости, получим теорему Журавского (теорему Шведлера):

откуда

Указанные дифференциальные зависимости при изгибе позволяют установить некоторые особенности эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.

1. Эпюра Q является прямолинейной на всех участках. На тех участках, где нет распределенной нагрузки, эпюра Q ограничена прямыми, параллельными оси эпюры, а эпюра М, в общем случае, – наклонными прямыми (рис. 6.13).

Рис.6.13

 

2. На тех участках, где к балке приложена равномерно распределенная нагрузка, эпюра Q ограничена наклонными прямыми, а эпюра М – квадратичными параболами (рис. 6.14). При построении эпюры М на сжатых волокнах, выпуклость параболы обращена в сторону, противоположную действию распределенной нагрузки (рис. 6.15,а, б).

Рис.6.14

 

3. В тех сечениях, где Q = 0, касательная к эпюре М параллельна оси эпюры (рис. 6.14, 6.15). Изгибающий момент в таких сечениях балки экстремален по величине (Мmax, Mmin).

4. На участках, где Q>0, M возрастает, то есть слева на право положительные ординаты эпюры M монотонно увеличиваются, отрицательные – монотонно уменьшаются (рис. 6.13, 6.14); на тех участках, где Q < 0, M убывает (рис. 6.13, 6.14).

5. В тех сечениях, где к балке приложены сосредоточенные силы:

а) на эпюре Q будут скачки на величину и в направлении приложенных сил (рис. 6.13, 6.14).

б) на эпюре M будут переломы (рис. 6.13, 6.14), острие перелома направлено против действия силы.

6. В тех, сечениях, где к балке приложены сосредоточенные моменты, на эпюре M будут скачки на величину этих моментов, на эпюре Q никаких изменений не будет (рис. 6.16).

Рис.6.15

 

Рис.6.16

 

7. Если на конце консоли или в концевой опоре приложен сосредоточенный момент, то в этом сечении изгибающий момент равен внешнему моменту (сечения C и B на рис. 6.16).

8. Эпюра Q представляет собой диаграмму производной от эпюры M. Значит, ординаты Q пропорциональны тангенсу угла наклона касательной к эпюре M (рис. 6.14).

9. Порядок линии на эпюре Q  всегда на единицу меньше, чем на эпюре M. Например, если эпюра M  - квадратная парабола, то эпюра Q  на этом участке - наклонная прямая; если эпюра M - наклонная прямая, то эпюра Q  на этом участке - прямая, параллельная оси; если M =const (прямая, параллельная оси), то на этом участке Q=0.

10. Приращение функции изгибающего момента на рассматриваемом участке численно равно площади эпюры поперечных сил на этом участке с соответствующим знаком. При построении эпюры  для изгибающего момента слева направо знаки приращения функции изгибающего момента и площади эпюры поперечных сил совпадают. При построении эпюры изгибающих моментов справа налево знаки приращения функции изгибающих моментов и площади эпюры поперечных сил противоположны. Покажем это.

На рис. 6.16.1 изображены эпюры поперечной силы (рис. 6.16.1,а) и изгибающих моментов (рис. 6.16.1,б). Воспользуемся дифференциальной зависимостью  для определения изгибающего момента в сечении В, если значение изгибающего момента в сечении А известно. Проинтегрируем выражение  в пределах длины участка l:

Рис

Рис. 6.16.1

 

Здесь ΩQ - по определению для определенного интеграла есть площадь эпюры поперечных сил Q(x) на участке длиной l.

Таким образом, изгибающий момент в сечении В может быть найден из выражения

M(B)=M(A)+M.

Знак приращения функции изгибающего момента в данном случае положительный, так как эпюра изгибающих моментов строилась слева направо и знак площади эпюры поперечных сил на всем рассматриваемом участке положительный.

Воспользуемся изложенными следствиями из дифференциальных зависимостей для контроля качества правильности построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов. Рассмотрим несколько примеров.

 

Пример 1.

Какая из эпюр поперечных сил, изображенных на рис. 6.16.2, построена правильно?

Анализируя эпюры для поперечной силы, приведенные на рис.6.16.2, приходим к выводу, что верной оказывается эпюра, приведенная под номером 2. При анализе правильности построения эпюры для поперечной силы следует использовать следствия из дифференциальных зависимостей, изложенные выше. 

 Начинать анализ следует либо с определения опорных реакций и проставления их на схеме балки, либо с выбора возможных направлений опорных реакций без предварительного определения их величин. Затем следует задать себе вопрос: возможен ли в сечении А скачок на величину реакции RA?   

Рис

Рис. 6.16.2

 

Да, скачок возможен в направлении реакции RA на ее величину. Этому случаю соответствуют эпюры, изображенные под №1, №2, и №4. Таким образом, для дальнейшего рассмотрения следует исключить вариант №3. Далее следует обратить внимание на наличие распределнной нагрузки на первом участке. Распределенная нагрузка на первом участке отсутствует, следовательно, на основании следствия №1 из дифференциальных зависимостей поперечная сила на первом участке балки должна быть постоянной. Этому условию соответствуют все три из оставшихся вариантов. В сечении С к балке приложена сосредоточенная сила P1. На основании первого следствия о скачках в этом сечении должен быть скачок на величину силы P1 в направлении ее действия. Этому случаю из оставшихся вариантов соответствуют варианты №1 и №2. Таким образом, вариант №4 отпадает. Далее исследуем поведение эпюры для поперечной силы на втором участке. На этом участке действует распределенная нагрузка интенсивности q. На основании второго следствия из дифференциальных зависимостей на участке, где действует распределенная нагрузка, поперечная сила должна меняться по линейному закону. Этому случаю соответствует из оставшихся двух вариантов только вариант №2. Таким образом, из четырех возможных вариантов нами выбран вариант эпюры для поперечной силы под № 2. Проследим дальнейшее поведение эпюры поперечной силы для варианта №2. В сечении В действует опорная реакция RB. Поэтому на эпюре поперечных сил должен наблюдаться скачок на величину этой реакции в направлении ее действия. Такой скачок действительно наблюдается. На третьем участке балки отсутствует распределенная нагрузка. Следовательно, поперечная сила на этом участке должна быть постоянной, что и наблюдается на эпюре для поперечных сил под номером 2. И, наконец, в сечении D на эпюре для поперечной силы должен быть скачок на величину силы P2, которая действует в этом сечении, в направлении действия этой силы. Действительно, такой скачок на эпюре поперечной силы в сечении D наблюдается.

Рассмотрим пример анализа правильности построения эпюры для изгибающих моментов с использованием следствий из дифференциальных зависимостей.

 

Пример 2.

Какая из эпюр изгибающих моментов, изображенных на рис.6.16.3, построена правильно?

Рис

Рис. 6.16.3

 

На рис. 6.16.3 варианты эпюр изгибающих моментов обозначены цифрами 1, 2, 3, 4. Какой из этих вариантов правильный? Анализ начнем с определения величины изгибающего момента в сечении А. В этом сечении изгибающий момент должен быть равен нулю. Такой результат соответствует всем вариантам. На первом участке отсутствует распределенная нагрузка и в соответствии с первым следствием из дифференциальных зависимостей изгибающий момент должен на этом участке изменяться по линейной зависимости. Действительно, для всех четырех вариантов это следствие выполняется. Однако, в соответствии с пятым следствием из дифференциальных зависимостей на первом участке должен наблюдаться подъем на эпюре изгибающих моментов, так как поперечная сила на этом участке положительна. Напомним, что в соответствии с пятым следствием приращение функции изгибающего момента на участке численно равно площади эпюры поперечной силы. Знак приращения функции изгибающего момента совпадает со знаком площади эпюры поперечных сил при построении эпюры слева направо. Таким образом, с учетом этого следствия вариант эпюры для изгибающего момента под номером 1 выпадает, так как на первом участке на эпюре изгибающего момента наблюдается не подъем, а спуск. В сечении С на эрюре поперечной силы наблюдается скачок, поэтому на эпюре изгибающих моментов в этом сечении должен наблюдаться излом. Для эпюр изгибающих моментов с номерами 2 и 3 этот излом незначительный, для варианта №4 этот излом оказывается довольно большим. На втором участке действует распределенная нагрузка постоянной интенсивности. В соответствии со вторым следствием из дифференциальных зависимостей на этом участке эпюра изгибающих моментов должна меняться по закону квадратной параболы. Действительно, для всех оставшихся вариантов изгибающий момент на втором участке меняется по закону квадратной параболы, но в соответствии с четвертым следствием из дифференциальных зависимостей на этом участке выпуклость на эпюре изгибающих моментов должна быть обращена навстречу  интенсивности распределенной нагрузки. Это явление мы наблюдаем на эпюрах под номерами 2 и 3. На эпюре изгибающих моментов под номером 4 выпуклость обращена в ту же сторону, что и интенсивность распределенной нагрузки. Поэтому вариант эпюры изгибающих моментов под номером 4 неверен. Таким образом, остаются варианты под номерами 2 и 3. Какой из этих вариантов верен? Обратимся к сечению С. В этом сечении действует сосредоточенная пара сил с моментом M. В соответствии со вторым  следствием о скачках в этом сечении должен наблюдаться скачок на эпюре изгибающих моментов на величину внешнего момента. На эпюре с номером 3 такой скачок есть. На эпюре изгибающих моментов с номером 2 скачок отсутствует. На основании изложенного делаем вывод, что вариант эпюры изгибающих моментов с номером 2 неверен. Правильным оказался вариант с номером 3. Проследим, как ведет себя эпюра для изгибающего момента на третьем участке балки. Поперечная сила на этом участке положительна, а это означает, что на эпюре изгибающих моментов на этом участке должен наблюдаться подъем, что мы и видим на эпюре под номером 3.

В приведенных примерах проиллюстрирована возможность анализа правильности построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов. Использование следствий о скачках и следствий из дифференциальных зависимостей между интенсивность распределенной нагрузки, поперечной силой и изгибающим моментом позволяет строить “качественные” (без расчета) эпюры M и Q. В некоторых случаях быстрое “качественное” построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов позволяет инженеру экономить время и дает возможность прочуствовать конструкцию, выделить опасные сечения и принять соответствующее решение.

 

Примеры построения эпюр внутренних силовых факторов для консольных балок

При построении эпюр Qy и Mx в консольных, или жестко защемленных, балках нет необходимости вычислять опорные реакции, возникающие в жесткой заделке, но выбирать отсеченную часть нужно так, чтобы заделка в нее не попадала.

 

Пример 3.

Рассмотрим балку длиной l защемленную одним концом и находящуюся под действием сосредоточенной силы Р (рис.6.17). Пусть для определенности Р=4 кН, l = 2 м.

image011

Рис.6.17

 

Решение.

Определим внутренние силовые факторы, возникающие в балке. Воспользуемся методом сечением.

Рассечем балку поперечным сечением в произвольном месте.

Отбросим правую часть.

Заменим ее действие внутренними усилиями N - вдоль оси z, Qy - вдоль оси y и моментом Mx – в плоскости осей yz вокруг оси х. На рис.6.17 в соответствии с принятым правилом знаков показаны положительные направления внутренних силовых факторов.

Уравновесим отсеченную часть. Запишем уравнения статического равновесия, получим

Из первого уравнения видно, что нормальная сила N при изгибе равна нулю, далее не будем ее определять.

Построим эпюры поперечной силы Qy и изгибающего момента Mx вдоль длины балки.

Поперечная сила постоянна по всей длине балки и равна Qy = P = 4 кН. Отложим на графике линию параллельную оси z.

Изгибающий момент Мх изменяется в зависимости от расстояния z. Вычислим его значение в двух точках: в начале z = 0 и в конце балки z = l = 2 м.

 z = 0 (Мх = 0);

 z = 2 м (Мх = 8 кНм).

Построим по точкам график Мх.

Построение эпюр поперечной силы Qy и изгибающего момента Mx является одним из основных этапов при расчете конструкций на изгиб. По эпюрам Qy и Mx определяется опасное сечение, т.е. сечение в котором может произойти разрушение.

Опасным сечением называется сечение, в котором изгибающий момент достигает наибольшего по модулю значения Mxmax=max|Mx|.

В некоторых случаях опасным сечением может быть также сечение, где наибольшего значения достигает поперечная сила Qymax=max|Qy|. В данном случае опасным является место закрепления балки где Мх = 8 кНм.

 

Пример 4.

Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для изображенной на рис. 6.17.1,а балки.

 

Рис

Рис. 6.17.1

 

Решение.

1. Из условия равновесия определяем опорные реакции: RA=0;   MA=2M.

2. Поперечная сила на всем протяжении длины балки равна нулю: Qy=0.

3. Изгибающий момент на первом участке  Mx=MA=2M. На втором участке изгибающий момент  найдем справа: Mx=3M. Изгибающий момент на каждом из участков от продольной координаты не зависит. Следовательно, изгибающий момент на каждом из участков балки будет величиной постоянной.

Эпюра изгибающих моментов изображена на рис. 6.17.1,б.

 

Пример 5.

Построить эпюры Qy и Mx  (рис.6.18). Дано: M=50 кНм; q=10 кН/м.

6

Рис. 6.18

 

Решение.

1. Намечаем характерные сечения.

2. Определяем поперечную силу Qy  в каждом характерном сечении.

По вычисленным значениям строим эпюру Qy.

3. Определяем изгибающий момент Mx в каждом характерном сечении. 

По вычисленным значениям строим эпюру Mx, причем, на участке под распределенной нагрузкой эпюра будет криволинейной (квадратная парабола). Выпуклость кривой на этом участке всегда обращена навстречу распределенной нагрузке.

 

Пример 6.

Построить эпюры Qy и Mx для консольной балки (рис.6.19).

В данном случае для правильного построения эпюры Mx  необходимо использовать приведенные выше дифференциальные зависимости.

Рис. 6.19

 

Решение.

1. Намечаем характерные сечения.

2. Определяем поперечные силы в характерных сечениях.

3. Строим эпюру Qy.

Характер эпюры, то есть тот факт, что эпюра Qy пересекает ось, говорит о том, что в этом сечении момент Mx будет иметь экстремальное значение. Действительно, пересечение эпюры с осью z означает, что в этом сечении Qy=dMx/dz=0, а из курса математики известно, что если производная функции равна нулю, то сама функция в данной точке имеет экстремальное значение.

Для определения  положения “нулевого” сечения необходимо величину расположенной слева от него  ординаты эпюры Qy разделить на интенсивность распределенной нагрузки q:

Определяем изгибающие моменты в характерных сечениях.

4. Вычисляем экстремальное значение изгибающего момента в сечении, где :

Строим эпюру Mx.

 

 Примеры построения эпюр внутренних силовых факторов для балок на двух опорах

В отличие от консольных балок, при расчете балок на двух шарнирных опорах необходимо сначала определить опорные реакции из уравнений статики, так как и в левую, и в правую отсеченные части для любого сечения, расположенного между опорами, попадает соответствующая реакция.

Для плоской системы число уравнений статики в общем случае равно трем. Если балка загружена только вертикальными нагрузками, то горизонтальная реакция шарнирно-неподвижной опоры равна нулю, и одно из уравнений равновесия ΣFix=0 обращается в тождество. Таким образом, для определения реакций в опорах шарнирной балки используются два уравнения статики:

Условие ΣFiy=0 используется для проверки вычисленных значений опорных реакций.

Рассмотрим примеры построения эпюр Qy и Mx.

 

Пример 7.

z1

 
 

Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для изображенной на рис.6.20,а балки.

Рис

Рис. 6.20

 

Решение.

1. Из условия равновесия определяем опорные реакции:

2. Рассекаем балку в произвольном сечении и составляем уравнение для поперечной силы:

Выражение (a) представляет собой закон изменения поперечной силы по длине балки, из которого следует, что поперечная сила является линейной функцией продольной координаты x.

Эпюра для поперечной силы представлена на рис. 6.20,б.

3. Составляем уравнение для изгибающего момента:

Из выражения (б) следует, что изгибающий момент является квадратичной функцией продольной координаты x.

При x=0 изгибающий момент Mx =0;

при x=l изгибающий момент Mx =0.

Эпюра изгибающих моментов представлена на рис. 6.20,в.

Анализируя построенные эпюры, приходим к выводу, что опасным является сечение посредине балки, в котором действует наибольший по абсолютной величине изгибающий момент  

 

Пример 8.

z1

 
 

Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для балки, изображенной на рис. 6.20.1,а.

Рис

Рис. 6.20.1

 

Решение.

1. Из условия равновесия определяем опорные реакции:

2. Разобьем балку на участки.

3. Рассечем балку на первом участке сечением x и запишем уравнение для поперечной силы:

Из уравнения (a) следует, что поперечная сила от продольной координаты x не зависит и является постоянной на первом участке балки.

4. Уравнение для изгибающих моментов на первом участке запишем в виде:

Из уравнения (б) следует, что изгибающий момент на первом участке балки является линейной функцией продольной координаты x.

При x=0 изгибающий момент Mx =0;

5. Для построения эпюр Qy  и Mx  на втором участке поместим начало координат в точку В. Поперечная сила на втором участке будет равна:

Из уравнения (в) следует, что поперечная сила от продольной координаты x не зависит и является постоянной на первом участке балки.

Уравнение для изгибающих моментов на втором участке принимает вид:

Из уравнения (г) следует, что изгибающий момент на втором участке балки является линейной функцией продольной координаты x.

При x=0 изгибающий момент Mx =0;

Эпюры для поперечной силы и для изгибающего момента изображены на рис.6.20.1,б и 6.20.1,в.

 

Пример 9.

z1

 
 

Для балки, изображенной на рис.6.20.2 построить эпюры поперечной силы Qy и изгибающего момента Mx и определить опасное сечение. Пусть величины P = 10 кН, a = 2 м, b = 3 м.

image030

Рис. 6.20.2

 

Решение.

Определим реакции опор. Запишем уравнения равновесия статики. Из этих уравнений получим:

Для проверки правильности определения реакции опор используем уравнение:

6 – 10 + 4 = 0,

0=0.

Значит, реакции определены правильно.

Определим внутренние усилия, возникающие в материале балки. Следует рассмотреть два участка, границами участков являются точки приложения сосредоточенной силы Р и опорных реакций RA и RB. Обозначим границы участков буквами А, С и В.

Рассечем первый участок АС.

Отбросим правую часть, т.к. она сложнее.

Заменим отброшенную часть внутренними усилиями Qy и Mx.

Уравновесим отсеченную часть, запишем уравнения равновесия:

Вычислим Qy и Mx в граничных точках участка:

при z1 = 0, Qy1 = RA = 6 кН,  Mx1 = 0;

при z1 = а = 2 м, Qy1 = RA = 6 кН,  Mx1 = 12 кНм.

Рассмотрим второй участок СВ. Рассечем его и отбросим левую часть, заменим её внутренними силами. Из уравнений равновесия получим

Вычислим Qy и Mx в граничных точках участка:

при z2 = 0,   Qy2 = - RВ = - 4 кН,  Mx2 = 0;

при z2 = а = 3 м,   Qy2 = - RВ = - 4 кН,  Mx2 = 12 кНм.

Построим эпюры Qy и Mx (рис.6.20.2).

По полученным эпюрам определим опасное сечение, оно проходит через точку приложения силы P, так как Mx достигает там наибольшего значения.

 

Пример 10.

Для представленной на рис.6.21 балки построить эпюры внутренних сил, найти опасные сечения.

Рис.6.21

 

Решение.

Определим реакции опор. Заменим распределенную нагрузку q её равнодействующей G=2qa, приложим G в середине участка АС (рис.6.22).

Запишем уравнение равновесия.

Рис.6.22

 

Отсюда находим:

Выполним проверку правильности определения реакций опор.

0=0.

Используя метод сечений, рассмотрим сечения участков балки (рис.6.23).

Рис.6.23

 

1 участок:

Вычислим Qy1 и Mx2 на границах участка.

2 участок:

На границах участка получим

Построим эпюры Qy и Mx на участках. Из выражений для внутренних усилий следует, что Qy, эпюра является прямолинейной как на первом, так и на втором участках, в то время как эпюра Мх на первом участке квадратичная парабола, а на втором прямая линия. Для построения эпюры Мх на первом участке следует либо вычислить её значения в нескольких точках, либо исследовать функцию на экстремум и определить его.

Как известно из курса математического анализа, для определения экстремума функции следует определить ее первую производную, приравняв ее нулю найти аргумент, затем его значение подставить в функцию и вычислить экстремум функции.

Отложим значение Мх max и построим эпюру изгибающего момента на первом участке по трем точкам (рис.6.23). По эпюре находим опасное сечение. Им является сечение, где .

 

Пример 11.

Построить эпюры Qy и Mx для балки с шарнирным опиранием (рис.6.24).

Рис. 6.24

 

Решение.

1. Вычисляем реакции опор.

Проверка:

2. Намечаем характерные сечения.

В отличие от консольных балок здесь известны обе опорные реакции, поэтому для любого сечения можно рассматривать как левую, так и правую отсеченную часть.

3. Определяем поперечные силы в характерных сечениях.

Строим эпюру Qy.

4. Определяем изгибающие моменты в характерных сечениях.

Строим эпюру Mx

 

Пример 12.

Построить эпюры Qy и Mx для балки на двух опорах с консолью (рис.6.25,а).

Решение.

1. Вычисляем опорные реакции.

Во втором уравнении равновесия (впрочем, как и в первом) момент от распределенной нагрузки q вычислен без разбиения ее на две части - слева и справа от опоры В, то есть определена равнодействующая нагрузки q - q3, ее положение (в середине участка с распределенной нагрузкой), что позволяет определить плечо равнодействующей относительно опоры В и направление создаваемого ею момента. В то же время можно было в уравнении равновесия учитывать отдельно части нагрузки q,  приложенные слева и справа от опоры В; при этом второе уравнение равновесия имеет вид:

Рис.6.25

 

Вычисленное из этого уравнения значение реакции RA, разумеется, совпадает с полученным ранее.

Проверка:

2. Намечаем характерные сечения.

3. Вычисляем поперечную силу и изгибающий момент в характерных сечениях.

Из рассмотрения левой отсеченной части:

Для сечений 5-7 удобнее рассматривать правую отсеченную часть:

По вычисленным значениям строим эпюры Qy и Mx (рис.6.25, б).

 

Пример 13.

Написать выражения для поперечной силы Qy и изгибающего момента Mx  в сечении x для балки, изображенной на рис.6.25.1.

Рис

Рис. 6.25.1

 

Решение.

1. Уравнение для поперечной силы имеет вид:

2. Уравнение для изгибающего момента принимает вид:

 

Другие подходы к построению эпюр внутренних силовых факторов

Помимо описанного выше, можно выделить еще один подход к построению эпюр. В этом случае намечают характерные сечения, в качестве которых выделяют точки приложения сосредоточенных сил и моментов, а также точки начала и конца участков с распределенными нагрузками. Затем определяют величину внутреннего силового фактора слева и справа (бесконечно близко) от характерной точки.

Этот метод существенно отличается от аналитического метода, так как в результате его применения нельзя получить уравнения распределения внутренних силовых факторов в пределах рассматриваемого участка изгибаемого элемента конструкции. С помощью этого метода можно получить лишь численные значения поперечной силы и изгибающего момента в том или ином сечении.

Однако такой подход в сочетании с использованием следствий из дифференциальных зависимостей между интенсивностью распределенной нагрузки, поперечной силой и изгибающим моментом позволяет быстро и качественно строить эпюры различной сложности.

Рассмотрим применения этого метода на примере.

 

Пример 14.

Построить эпюры поперечных сил Q и изгибающих моментов M для изображенной на рис.6.25.2,а балки по методу “характерных” сечений.

 

Рис

Рис. 6.25.2

 

Решение.

1. Определяем опорные реакции. Для этого составим два уравнения равновесия:

Из уравнения (а) находим величину реакции RB:

Из уравнения (б) находим величину реакции RA:

Выполняем проверку. Для этого составим уравнение проекций всех сил, действующих на балку, на вертикальную ось Oy:

2. Разбиваем балку на участки и проставляем “характерные” сечения 1- 6 на границах участков.

3. Определяем величины для поперечной силы в каждом из “характерных” сечений:

Откладываем от базисной линии найденные значения для поперечной силы в каждом из “характерных” сечений и соединяем полученные точки, руководствуясь следствиями из дифференциальных зависимостей между интенсивностью распределенной нагрузки, поперечной силой и изгибающим моментом.

На участке №1 распределенная нагрузка отсутствует. Следовательно, на основании первого следствия из дифференциальных зависимостей поперечная сила будет постоянной. Соединяем точки, соответствующие значениям поперечной силы, найденным в сечениях №1 и №2, горизонтальной прямой. На втором участке действует распределенная нагрузка постоянной интенсивности. Следовательно, на основании следствия №2 из дифференциальных зависимостей поперечная сила должна меняться по линейному закону. Поэтому соединяем  точки соответствующие значениям поперечной силы, найденным в сечениях №3 и №4 наклонной прямой. На участке №3 распределенная нагрузка так же, как и на участке №1, отсутствует. Следовательно, на основании первого следствия из дифференциальных зависимостей поперечная сила будет постоянной. Соединяем точки, соответствующие значениям поперечной силы, найденным в сечениях №5 и №6 горизонтальной прямой.

При построении эпюры поперечных сил следует обращать внимание на возможные скачки в тех сечениях, в которых приложены сосредоточенные силы. Так, в сечениях №2 и №3 значения для поперечной силы отличаются на величину силы P1=20 кН. В сечениях №4 и №5 значения для поперечной силы отличаются на величину реакции RB=55 кН. В сечении №6 также наблюдается скачок на величину силы P2=10 кН в направлении ее действия при построении эпюры слева направо.

4. Находим значения для изгибающих моментов в  “характерных” сечениях:

Откладываем от базисной линии найденные значения для изгибающих моментов в “характерных” сечениях и соединяем полученные точки, руководствуясь следствиями из дифференциальных зависимостей между интенсивностью распределенной нагрузки, поперечной силой и изгибающим моментом.

На участке №1 распределенная нагрузка отсутствует. Следовательно, на основании первого следствия из дифференциальных зависимостей изгибающий момент будет меняться по линейному закону. Соединяем точки, соответствующие значениям изгибающих моментов, найденным в сечениях №1 и №2, наклонной прямой. На втором участке действует распределенная нагрузка постоянной интенсивности. Следовательно, на основании следствия №2 из дифференциальных зависимостей изгибающий момент должен меняться по закону квадратной параболы. При этом на основании следствия №4 выпуклость на эпюре изгибающих моментов должна быть обращена навстречу распределенной нагрузке, т.е. вверх. Соединяем точки, соответствующие значениям изгибающих моментов, найденным в сечениях №3 и №4 параболой, обращенной выпуклостью вверх. На участке №3 распределенная нагрузка так же, как и на участке №1, отсутствует. Следовательно, на основании первого следствия из дифференциальных зависимостей изгибающий момент будет меняться по линейному закону. Поэтому соединяем точки, соответствующие значениям изгибающих моментов, найденных в сечениях №5 и №6 наклонной прямой. Скачков на эпюре изгибающих моментов не наблюдается, так как отсутствуют сосредоточенные моменты, приложенные к балке. Следует обратить внимание, что в сечениях, в которых имеются скачки на эпюре поперечных сил, на эпюре изгибающих моментов должны быть изломы.

Найдем величину максимального изгибающего момента Mmax. На втором участке балки поперечная сила меняет знак, пересекая базисную линию. Сечение, в котором поперечная сила равна нулю, также считается “характерным”. В этом сечении изгибающий момент достигает экстремальной величины на рассматриваемом участке. Для рассматриваемой балки изгибающий момент будет максимальным на основании дифференциальной зависимости  так как интенсивность распределенной нагрузки q<0.

Для определения максимального изгибающего момента сначала определим координату сечения, в котором момент максимален. Для этого на эпюре поперечных сил сформируем два треугольника (контур одного из треугольников показан пунктиром). Один из рассматриваемых треугольников имеет неизвестный катет длиной x*, который и следует определить. Выделенные треугольники подобны по трем углам. Составим пропорцию:  решая которую относительно x*, получим  

Максимальный изгибающий момент можно определить двумя способами:

1. Помещая начало координат в точке А балки на левом ее конце, вычислим координату сечения, в котором изгибающий момент достигает максимальной величины: xmax=x*+1=1,75 м, составляем выражение для изгибающего момента в указанном сечении и подставляем в это выражение координату xmax=1,75 м. Получим:

2. Используя следствие №10 из дифференциальных зависимостей между интенсивностью распределенной нагрузки, поперечной силой и изгибающим моментом, максимальный изгибающий момент найдем, прибавив к значению  изгибающего момента в сечении №3 площадь эпюры поперечной силы Q на участке длиной x*=0,75 м:

Последний способ определения изгибающих моментов в некоторых случаях может оказаться предпочтительнее, так как существенно экономит время. 

Приведенные примеры построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов для балок и эпюр поперечных сил, изгибающих моментов и продольных усилий для рам позволяют получить наглядное представление о преимуществах и недостатках метода “характерных” сечений. К числу преимуществ этого метода можно отнести простоту определения внутренних силовых факторов. К числу недостатков – отсутствие аналитических законов распределения внутренних силовых факторов по длине элементов конструкции. Однако, использования дифференциальных зависимостей между интенсивностью распределенной нагрузки, поперечной силой и изгибающим моментом для анализа поведения распределения внутренних усилий и следствий из них в значительной мере компенсирует последний недостаток. Сделанный вывод позволяет рекомендовать метод построения эпюр распределения внутренних силовых факторов по “характерным’ сечениям в учебную практику.

 

Напряжение при чистом изгибе

Рассмотрим наиболее простой случай изгиба, называемый чис­тым изгибом и выведем формулу для определения нормальных напряжений для данного случая. Отметим, что методами теории упругости можно получить точную зависимость для нормальных напряжений при чистом изгибе, если же решать эту задачу методами сопротивления материалов, необходимо ввести некоторые гипотезы.

Таких гипотез при изгибе три:

1) гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли). Сечения плоские до деформации остаются плоскими и после деформации, а лишь поворачиваются относительно некоторой линии, которая называется нейтральной   осью сечения балки. При этом волокна балки, лежащие с одной стороны от нейтральной оси будут растягиваться, а с другой - сжиматься; волокна, лежащие на нейтральной оси своей длины не изменяют;

2) гипотеза о постоянстве нормальных напряжений - напряжения, действующие на одинаковом расстоянии у от нейтральной оси, постоянны по ширине бруса;

3) гипотеза об отсутствии боковых давлений - соседние продольные волокна не давят друг на друга.

Кроме этих гипотез следует ввести ряд ограничений:

1. Балка имеет хотя бы одну плоскость симметрии, и все внешние силы лежат в этой плоскости.

2. Материал балки подчиняется закону Гука, причем модуль упругости при растяжении и сжатии одинаков.

3. Соотношения между размерами балки таковы, что она работает в условиях плоского изгиба без коробления или скручивания.

Приведенные выше гипотезы в обычных случаях изгиба верны только приблизительно. Однако вытекающие из них погрешности теории так невелики, что ими можно пренебречь.

Как было отмечено выше, под чистым изгибом понимается такой вид сопротивления, при котором в поперечных сечениях бруса возникают только изгибающие моменты, а попе­речные силы равны нулю. Для тех участков бруса, где соблюдается данное условие, изгибающий момент, вдоль продольной оси z принимает постоянное значение. Так как в любом сечении стержня при чистом изгибе Mx(z)=const, то для однородного бруса постоянного поперечного сечения изменение кривизны постоянно вдоль оси z. Под действием изгибающих мо­ментов ось бруса искривляется. Исходя из этого, ось бруса прини­мает форму дуги окружности с радиусом кривизны  (рис. 6.26). В данном случае с высокой степенью точности справедлива гипотеза плоских сечений. Следовательно, точки, расположенные до изгиба в плоскости поперечного сечения бруса, в результате изгиба пере­местятся в пространстве таким образом, что их совокупность снова образует плоскость.

Процесс формирования деформаций при чистом изгибе может рассматриваться как результат поворота плоских поперечных сече­ний друг относительно друга.

Рассмотрим два смежных сечения, отстоящих один от другого на расстоянии dz (рис. 6.26).

В результате изгиба эти сечения наклонятся, образуя между со­бой угол dθ, в связи с чем верхние волокна удлиняются, а ниж­ние - укоротятся. Очевидно, что при этом существует слой, длина которого не изменилась. Назовем его нейтральным слоем и обозначим отрезком СD. При этом . Произвольный отрезок АВ, расположен­ный от СD на расстоянии y, в результате изгиба удлинится на величину . С учетом построений, изображенных на рис. 6.26, легко определить величину его относительной линейной деформации:

 

Рис.6.26

 

Если предположить, что продольные волокна не давят друг на друга, то каждое из них будет находиться в условиях простого растяжения - сжатия. Тогда переход от деформаций к нормальным напряжениям  можно осуществить посредством закона Гука:

 

Рис. 6.27

               

Устано­вим положение нейт­ральной оси x, от кото­рой происходит отсчет координаты у (рис.6.27). Учитывая, что сумма элементарных сил  по площади попе­речного сечения A дает нормальную силу Nz. Но при чистом изгибе Nz =0, следовательно:

Как известно, последний интеграл представляет собой статиче­ский момент сечения относительно нейтральной линии (оси x). Статический момент равен нулю, значит, нейтральная линия про­ходит через центр тяжести сечения.

Выразим момент внутренних сил относительно нейтральной оси Mx  через σ. Очевидно, что

C учетом выражения (2) получим:

Откуда

где  - кривизна нейтрального волокна; EIx - жесткость бруса.

Из формулы (3), исключая , окончательно получим:

Эта формула была впервые получена Ш. Кулоном в 1773 году.

Таким образом, нормальные напряжения в любой точке сечения прямо пропорциональны величине изгибающего момента и расстоянию точки от нейтральной линии сечения и обратно пропорционально моменту инерции сечения относительно нейтральной оси.

Из выражения (5) можно сделать ряд важных выводов:

1) центр тяжести сечения балки является началом координат для анализа напряжений и приведения внешних сил;

2) напряжения изгиба зависят от значений изгибающего момента, момента инерции сечения и координаты точки, в которой это напряжение определяется;

3) напряжения в любой точке, лежащей на одинаковом расстоянии от нейтральной линии, равны между собой;

4) нормальные напряжения не зависят, а упругие перемещения зависят от модуля упругости материала балки.

В нейтральном слое при y=0 напряжения σ=0, в сжатой зоне (при y<0, рис.6.26) напряжения становятся отрицательными, в растянутой зоне (при y>0, рис. 6.26) напряжения становятся положительными. По мере удаления от нейтрального слоя нормальные напряжения σ в поперечном сече­нии бруса при его изгибе изменяются по линейному закону в зависимости от координаты y и принимают максимальное значение на уровне крайних волокон (при ):

Измеряется осевой момент сопротивления единицами длины в третьей степени, например (см3). Физический смысл момента сопротивления состоит в следующем: чем больше Wx, тем больший изгибающий момент может принять на себя балка, не подвергаясь опасности разрушения. Таким образом, величина момента сопротивления характеризует влияние формы и размеров поперечного сечения балки на ее способность сопротивляться внешним нагрузкам, не разрушаясь.

При симметричном относительно нейтральной линии сечении, например, прямоугольном, расстояния до крайних растянутых и сжатых волокон одинаковы и такое сечение имеет одно вполне определенное значение момента сопротивления относительно оси Oz. Так, при высоте прямоугольника (рис. 6.27.1, а), равной h

Рис

Рис. 6.27.1

 

Если сечение несимметрично относительно нейтральной линии – тавр, мы получим два момента сопротивления: один для волокон А (рис. 6.27.1,б):  и другой для волокон В: . Теперь в формулу (6) следует вводить: W1 -  при вычислении напряжений в точке А и W2 -  при вычислении напряжений в точке В.

Для круга

Для прокатных профилей (двутавра, швеллера, уголка) Mx  приводится в таблицах сортамента.

Формулой (6) удобно пользоваться для расчета балок пластичного материала в упругой области, одинаково работающего на растяжение и сжатие. Поскольку знак напряжения в этом случае не имеет значения, напряжения вычисляются по модулю, и условие прочности при изгибе балки в форме призматического стержня получает вид

где maxMx максимальное значение изгибающего момента (легко определяемое по его эпюре), [σ] - допускаемое напряжение на простое растяжение (сжатие). Напомним, что чистый изгиб балки сводится к растяжению и сжатию ее волокон (неравномерному в отличие от деформации растяжения (сжатия) призматического стержня, при котором σ=const).

При расчете балок из хрупких материалов следует различать наибольшие растягивающие maxσp и наибольшие сжимающие maxσc напряжения, которые также определяются по модулю непосредственно и сравниваются с допускаемыми напряжениями на растяжение [σp] и сжатие [σc]. Условие прочности в этом случае будет иметь вид:

В зависимости от того, чему лучше сопротивляется материал, приходится  соответсвующим образом конструировать сечение, выбирая его форму и размеры так, чтобы удовлетворяли условию прочности.

Из условия (7) формулируют три рода задач на прочность при изгибе:

1. Проверка прочности: задана балка, нагрузка, известен материал. Строится эпюра Mx  – определяется Mmax, вычисляется Wx и по (7) проверяется условие прочности.

2. Определение максимально допустимой нагрузки по условию прочности.

Заданы размеры балки, характер нагрузки, материал балки.

Строится эпюра Mx  – определяется Mmax от параметра нагрузки, вычисляется Wx и по (8) находят наибольший параметр нагрузки.

3. Конструирование балки – определение размеров ее поперечного сечения.

Строится эпюра  – определяется , вычисляется правая часть (9) и подбираются размеры поперечного сечения, удовлетворяющие (9).

Для прямоугольного сечения 

Обычно задаются отношением

Тогда

отсюда 

Задаваясь шириной b по (10) получим h.

Для двутаврового сечения по таблице сортамента подбирают номер двутавра с Wx большим, чем правая часть (9).

Рассмотрим примеры определения нормального напряжения в произвольной точке сечения изгибаемой балки.

 

Пример 15.

Определить нормальное напряжение при изгибе балки (в МПа) в точке А поперечного сечения, удаленной от нейтральной линии сечения на 15 см (рис. 6.27.2), если изгибающий момент M=10 кНм.

Рис

Рис. 6.27.2

 

Решение.

1. Определяем момент инерции сечения относительно оси z:

2. Подставляем значения изгибающего момента, осевого момента инерции и координаты точки А в формулу для нормальных напряжений (5) и находим напряжения:

Таким образом, в точке А поперечного сечения балки действует нормальное напряжение σA=1,745 МПа.

Рассмотрим несколько примеров определения моментов сопротивления сечений и расчета балок на прочность.

 

Пример 16.

У которой из фигур (рис. 6.27.3), имеющих одинаковую площадь, момент сопротивления относительно оси z, будет наибольшим? Определить наибольший момент сопротивления.

Рис

Рис. 6.27.3

 

Решение.

Ранее в примере 14 в разделе 4 «Геометрические характеристики плоских сечений» были найдены моменты инерции каждого из сечений относительно центральной оси сечения z.

Найдем моменты сопротивления:

для сечения круглой формы:

для сечения квадратной формы:

для сечения прямоугольной формы:

для сечения треугольной формы:

Таким образом, наибольший момент сопротивления оказался у сечения прямоугольной формы: Wz=400 см3.

 

Пример 17.

На рисунке изображены поперечные сечения 4-х балок (рис. 6.27.4), изготовленных из одинакового материала. Которая из балок является наиболее прочной?

Рис

Рис. 6.27.4

 

Решение.

Наиболее прочной будет балка, у которой момент сопротивления относительно оси z будет наибольший. Вычислим моменты сопротивления Wz для каждого из сечений.

а) Квадратное сечение.

б) Прямоугольное сечение.

в) Круглое сечение.

г) Ромбовидное сечение. Рассматриваемое сечение получилось путем поворота горизонтальной оси квадратного сечения на 45°. В результате момент инерции сечения относительно оси z не изменился и может быть вычислен как для квадратного сечения:

Осевой момент сопротивления найдем, разделив момент инерции на ymax:

Таким образом, наибольший момент сопротивления оказался у круглого поперечного сечения: Wz=6,87 см3. Следовательно, балка с круглым поперечным сечением обладает наибольшей прочностью.

 

Пример 18.

Как изменится прочность балки, если поперечное сечение будет переведено из положения “I” в положение “II” (рис. 6.27.5)?

Рис

Рис. 6.27.5

 

Решение.

1. Вычислим осевой момент сопротивления Wz для положения сечения I:

2. Вычислим осевой момент сопротивления Wz  для положения сечения II:

3. Найдем отношение осевых моментов инерции для положения сечения I и II:

Таким образом, при переводе сечения из положения I в положение II прочность балки уменьшается в 3 раза.

 

Энергия упругих деформаций балки

Энергия упругих деформаций балки при изгибе V определяется работой момента Mx на соответствующем угловом перемещении dθ:

окончательно получим

 

Касательные напряжения при поперечном изгибе. Главные напряжения при изгибе

В случае поперечного изгиба в сечениях балки возникают не только изгибающий момент, но и поперечная сила. Следовательно, в этом случае в поперечных сечениях бруса возникают не только нормальные, но и касательные напряжения.

Так как касательные напряжения в общем случае распределены по сечению неравномерно, то при поперечном изгибе поперечные сечения балки, строго говоря, не остаются плоскими. Однако при h/l<<1 (где h - высота поперечного сечения, l - длина балки) ока­зывается, что эти искажения заметным образом не сказываются на работе балки на изгиб. В данном случае гипотеза плос­ких сечений и в случае чистого изгиба с достаточной точно­стью приемлема. Поэтому для расчета нормальных напряже­ний σ применяют ту же формулу (5).

Рассмотрим вывод расчетных формул для касательных напря­жений. Выделим из бруса, испытывающего поперечный изгиб, элемент длиной dz (рис. 6.28,а).

Рис. 6.28

               

Продольным горизонтальным сечением, проведенным на рас­стоянии y от нейтральной оси, разделим элемент на две части (рис. 6.28,в) и рассмотрим равновесие верхней части, имеющей основание шириной b. При этом с учетом закона парности каса­тельных напряжений, получим, что касательные напряжения в по­перечном сечении равны касательным напряжениям, возникающим в продольных сечениях (рис. 6.28,б). С учетом данного обстоятель­ства и из допущения о том, что касательные напряжения по пло­щади bdz распределены равномерно, используя условие Σz=0получим:

откуда

где  - равнодействующая нормальных сил  в левом попереч­ном сечении элемента dz в пределах заштрихованной площади :

С учетом (5) последнее выражение можно представить в виде

где - статический момент части поперечного сечения, расположенной выше координаты y (на рис. 6.28,б эта область за­штрихована). Следовательно, (15) можно переписать в виде

откуда

В результате совместного рассмотрения (13) и (16) получим

поэтому окончательно

Полученная формула (17) носит имя русского ученого Д.И. Журавского.

Дмитрий Иванович Журавский – русский механик и инженер – принимал участие в постройке Николаевской железной дороги из Петербурга в Москву, спроектировал и построил металлический шпиль Петропавловского собора в Петербурге. Его работы посвящены применению математических методов в строительной механике. Он впервые дал определение касательных напряжений в изгибаемых балках и вывел формулу для определения касательных напряжений при изгибе.

Условие прочности по касательным напряжениям:

где  - максимальное значение поперечной силы в сечении;  - допускаемое касательное напряжение, оно, как правило, равно половине .

Для исследования напряженного состояния в произвольной точке балки, испытывающей поперечный изгиб, выделим из сос­тава балки вокруг исследуемой точки элементарную призму (рис. 6.28,г), таким образом, чтобы вертикальная площадка явля­лась частью поперечного сечения балки, а наклонная площадка составляла произвольный угол α относительно горизонта. Прини­маем, что выделенный элемент имеет следующие размеры по координатным осям: по продольно оси - dz, т.е. по оси z; по вер­тикальной оси - dy, т.е. по оси у; по оси х - равный ширине балки.

Так как вертикальная площадка выделенного элемента принад­лежит поперечному сечению балки, испытывающему поперечный изгиб, то нормальные напряжения σ на этой площадке определя­ются по формуле (5), а касательные напряжения τ - по формуле Д.И. Журавского (17). С учетом закона парности касательных на­пряжений, легко установить, что касательные напряжения на гори­зонтальной площадке также равны τ. Нормальные же напряжения на этой площадке равны нулю, согласно уже известной нам гипо­тезе теории изгиба о том, что продольные слои не оказывают дав­ления друг на друга.

Обозначим величины нормальных и касательных напряжений на наклонной площадке через  и , соответственно. Принимая площадь наклонной площадки dF, для вертикальной и горизон­тальной площадок будем иметь dFsinα и dFcosα, соответственно.

Составляя уравнения равновесия для элементарной вырезанной призмы (рис. 6.28,г), получим:

откуда будем иметь:

Следовательно, окончательные выражения напряжений на на­клонной площадке принимают вид:

Определим ориентацию площадки, т.е. значение α=α0, при котором напряжение σα принимает экстремальное значение. Со­гласно правилу определения экстремумов функций из математиче­ского анализа, возьмем производную функции σα от α и прирав­няем ее нулю:

Предполагая α=α0, получим:

Откуда окончательно будем иметь:

Согласно последнему выражению, экстремальные напряжения возникают на двух взаимно перпендикулярных площадках, называ­емых главными, а сами напряжения - главными напряже­ниями.

Сопоставляя выражения  и , имеем:

откуда и следует, что касательные напряжения на главных пло­щадках всегда равны нулю.

В заключение, с учетом известных тригонометрических тож­деств:

и формулы

определим главные напряжения, выражая из через σ и τ:

Полученное выражение имеет важное значение в теории проч­ности изгибаемых элементов, позволяющее производить расчеты их прочности, с учетом сложного напряженного состояния, присущее поперечному изгибу.

 

Пример 19.

В качестве примера применения формулы Журавского построим эпюру касательных напряжений для случая прямоугольного поперечного сечения балки (рис. 6.29). Учитывая, что для этого сечения

получаем

где F=bh - площадь прямоугольника.

Как видно из формулы, касательные напряжения по высоте сечения меняются по закону квадратической параболы, достигая максимума на нейтральной оси

 

Рис. 6.29

 

В круглом сечении (рис. 6.29) эпюра касательных напряжений ограничена кривой, имеющей максимум на нейтральной оси. Учитывая, что статический момент полукруга и момент инерции круга

получаем

Следовательно, максимальные касательные напряжения в круглом сечении на 33% больше средних напряжений , по которым, например, обычно проводится расчет заклепок.

Для треугольного сечения с основанием b и высотой h (рис. 6.29), имеем

Максимальное напряжение имеет место на расстоянии y=h/6 от нейтральной линии, то есть в точках средней линии треугольника.

 

При изгибе тонкостенных профилей касательные напряжения определяются по следующей формуле:

где δ - толщина тонкостенного профиля.

На рис. 6.30 построена эпюра τ при изгибе тонкостенного двутавра в вертикальной плоскости симметрии. Вследствие симметрии сечения и нагрузки, касательные напряжения в симметричных точках полок двутавра должны быть также симметричны относительно оси y и будут увеличиваться от края к центру по линейному закону:

Вдоль стенки τ изменяются по параболическому закону

и направлены в ту же сторону, что и сила Q.

IMG00438

Рис. 6.30

IMG00439

Рис. 6.31

 

При изгибе двутавра в плоскости второй оси (рис. 6.31) касательные напряжения в стенке равны нулю, а вдоль каждой из полок изменяются по параболическому закону

 

Пример 20.

Построить эпюру распределения касательных напряжений для балки двутаврового (№ 12) сечения (рис. 6.32), если Q=10 кН.

Рис. 6.32

 

Решение.

Для построения эпюры схематизируем действительное сечение, представив его в виде трех прямоугольников, как показано на рис. 6.32 пунктиром. Проведя произвольную линию mn, параллельную нулевой линии, и перемещая ее вдоль оси y, обнаруживаем, что при этом напряжения в точках этой линии меняются по параболическому закону, так как мы имеем дело с прямоугольниками. Для построения эпюры касательных напряжений вычислим τ в крайних волокнах (линия AB), в месте сопряжения полки со стенкой (точки 1 и 2, причем будем считать, что они расположены бесконечно близко к границам полки, но лежат по разные стороны от этой границы) и в точках нейтральной линии.

На рис. 6.32 все размеры даны в мм, а напряжения – в МПа.

Для точек линии AB ширина сечения равна l, а статический момент равен нулю, так как линия AB не отсекает никакой площади. Таким в точках линии AB касательные напряжения равны нулю.

Для точки 1 статический момент равен

Момент инерции сечения относительно нейтральной оси находим по сортаменту Iz=403 см4. Касательное напряжение в точке 1:

Для точки 2 статический момент (с точностью до бесконечно малых величин) остается таким же, но ширина сечения d=0,5 см. Поэтому касательное напряжение в точке 2

Для точек

Следовательно, при переходе от точки 1 к точке 2 касательное напряжение возрастает в 15 раз и на эпюре получается скачок.

Для точек нейтральной линии ширина сечения d=0,5 см, а статический момент следует взять для половины сечения из сортамента Szmax=38,5 см3. Поэтому

На основании этих данных строим эпюру касательных напряжений для нижней половины сечения. Для верхней половины сечения в силу симметрии профиля относительно оси z эпюра будет симметричной.

Построенная эпюра условна, так как она дает верные значения касательных напряжений только для точек стенки, достаточно удаленных от полок. Вблизи полок касательные напряжения в стенке возрастают, ввиду того, что место сопряжения полки со стенкой является источником концентрации касательных напряжений. В полках же, где отношение высоты к ширине много меньше единицы, возникают касательные напряжения, перпендикулярные направлению Q, и величина их меняется по ширине сечения.

Необходимо отметить также, что формулой Журавского можно пользоваться только в случае прямого изгиба.

 

Пример 21.

Определить касательные напряжения в указанных точках двутаврового сечения и построить эпюру касательных напряжений при величине поперечной силы Q=50 кН (рис. 6.32.1).

Рис

Рис. 6.32.1

 

Решение.

Характерной особенностью этого сечения является резкое изменение ширины сечения при переходе от стенки двутавра к его полке. В основном поперечную силу воспринимает стенка, а на долю полок приходится небольшая  ее величина.

Покажем, как определяется статический момент площади для любой произвольной точки сечения двутавра. Для этого рассмотрим произвольную точку К (рис. 6.32.2). Проведем через эту точку линию,  параллельную оси Oz. Статический момент площади верхней отсеченной части (заштрихованой на рис. 6.32.2) может быть найден как сумма статических моментов двух площадей A1 и A2

Рис

Рис. 6.32.2

 

Наибольшей величины статический момент площади отсеченной части относительно нейтральной линии сечения Oz достигает для половины сечения. Следовательно, максимальные касательные напряжения возникают в волокнах нейтрального слоя.

Вернемся теперь к рис.6.32.1. Точка №1 сечения принадлежит наиболее отдаленному волокну. Точки №2 и №3 лежат в месте перехода от полки к стенке: точка №2 принадлежит полке, точка №3 – стенке сечения. Точка №4 лежит в центре тяжести сечения и принадлежит нейтральной линии сечения. Сечение симметрично расположено по отношению к оси Oz. Поэтому напряжение в точке №5 будет таким же, как в точке №3, напряжение в точке №6 – таким же, что и в точке №2, напряжение в точке №7 – таким же, что и в точке №1.

Вначале найдем момент инерции сечения относительно оси Oz:

Касательное напряжение в точке №1 поперечного сечения равно нулю, так как отсеченная часть сечения в данном случае представляет собой пространство над сечением, и ввиду отсутствия отсеченной площади, статический момент этой площади равен н