Геометрические характеристики

 

 

Главная

Лекция 4 (продолжение). Задачи для самостоятельного решения

 

Содержание

Геометрические характеристики простых сечений

Геометрические характеристики сложных сечений

 

Геометрические характеристики простых сечений

 

Задача 1.

Относительно какой из множества ……………………осевой момент инерции принимает наименьшее значение?

 

Задача 2.

Относительно какой из множества параллельных осей в пределах площади …………………………. осевой момент инерции принимает наибольшее значение?

 

Задача 3.

Какой из двух моментов инерции …………………………. больше: относительно центральной оси, параллельной сторонам или относительно оси, совпадающей с диагональю?

 

Задача 4.

В каких случаях можно ………………………. установить положение главных осей инерции фигуры?

 

Задача 5.

Не прибегая к интегрированию, найдите центробежный момент инерции прямоугольного треугольника относительно центральных осей,…………………………..

 

Задача 6.

Докажите, что если для данной плоской фигуры главные моменты инерции……………………, то любая ось, проходящая через начало координат, является главной.

 

Задача 7.

Для произвольной плоской фигуры найдите геометрическое место точек, относительно которых сечение имеет одинаковую величину ………………………. инерции.

 

Задача 8.

Для плоской фигуры найдите точку, обладающую тем свойством, что все проходящие через нее оси ……………………..

 

Задача 9.

Для прямоугольника высотой h и шириной в определить, во сколько раз увеличатся момент инерции и момент сопротивления относительно центральной оси x, если…………………:

1) высоту h или

2) ширину в.

Ответ: увеличатся: 1) J x в восемь раз, Wx – в четыре;   2) J x и Wx – вдвое.

 

Задача 10.

Составить выражения для осевых и центробежных моментов инерции прямоугольника со сторонами в и h относительно центральных осей x и y, повернутых на угол ….0 к главным осям. Какой вид примут полученные выражения для квадратного сечения со стороной а ?

Ответ:          для  квадрата   

 

Задача 11.

Определить осевые моменты инерции прямоугольника высотой h  и шириной b относительно осей х и у, являющихся его осями симметрии (см. рис.).

Подпись: h/2Подпись: h/2

Ответ: Ix = bh3/12;  Iy = hb3/12.

 

Задача 12.

Определить статический момент Sx поперечного сечения в виде равнобокой трапеции (см. рис.). Найти положение центра тяжести С. Вычислить ………………………. инерции относительно главных осей хс, у. Можно ли применить полученные результаты для вычисления соответствующих геометрических характеристик поперечных сечений в виде равнобедренного треугольника и прямоугольника?

Подпись: hПодпись: yc

Ответ:       

 

Задача 13.

Покажите, что для прямоугольного сечения с отношением сторон h/b=2 любые оси, проведенные через ………………………… сторон, являются главными.

 

Задача 14.

Определите указанные ниже величины.

                                               

 

Задача 15.

Как изменится момент инерции и момент сопротивления квадрата со стороной а относительно оси х, если сечение…………………………………., оставив ось х горизонтальной.

Ответ: момент инерции не изменится; момент сопротивления уменьшится на 41%

 

Задача 16.

Сравнить величины моментов инерции относительно центральной оси х сечений прямоугольника, квадрата и круга при условии, что ………………. всех трех сечений одинаковы.

Ответ: а) Iх=0,167F2; б) Iх=0,0833F2; в) Iх=0,0797F2

 

Задача 17.

Для прямоугольника со сторонами в=2 см и h=3 см определить положение………………………, проходящих через точку О, и вычислить главные моменты инерции.

Ответ:

 

Задача 18.

Найти моменты инерции полукруга относительно ………………………..инерции (см. рис.).

Ответ:   

 

Задача 19.

Определить …………………………. плоского прямоугольного сечения относительно осей х и у (рис. 1).

Определить координаты центра тяжести плоского сечения в форме половины круга радиусом R (рис. 2).

Подпись: dyПодпись: yПодпись: hПодпись: yПодпись: dy

Ответ к рис. 1: Sx = bh2/2;    Sy = hb2/2.

 

Задача 20.

Определить координаты центра тяжести плоского сечения, ограниченного осью х, квадратной параболой x = hy2/b2 и прямой линией х = h (рис. 1).

Определить координаты центра тяжести плоского сечения, ограниченного осью х, кубической параболой x = hy3/b3 и прямой линией x = h (рис. 2).

Определить координаты центра тяжести плоского сечения, ограниченного осью у, кубической параболой x = hy3/b3 и прямой линией у = в (рис. 2).

Подпись: ax=yПодпись: dyПодпись: yПодпись: bПодпись: y1cПодпись: bПодпись: y2c

Решение к рис.1. Для нахождения центра тяжести воспользуемся формулами    В первую очередь по формуле   определяем площадь поперечного сечения

Затем по формулам  находим статические моменты сечения:

И, окончательно, по формулам   определяем

Ответ к рис 1: x1c = 0,375b;  y1c = 0,6h.

Ответ к рис 2: x1c = 4h/7;  y1c = 0,4b.

Ответ к рис.3: x2c = 2h/7;  y2c = 0,8b.

 

Геометрические характеристики сложных сечений

 

Задача 1.

Сравнить моменты инерции относительно ……………………….. двух равновеликих прямоугольных сечений, ослабленных вырезами одинаковой площади.

Ответ:

 

Задача 2.

Определить положения ………………….. сечения и его моменты инерции Ix и Iy относительно центральных осей. а=10 см.

 

Задача 3.

Сравнить моменты сопротивления Wх двух ………………….. сечений, ослабленных вырезами одинаковой площади F=2а2

Ответ:

 

Задача 4.

Плоская фигура состоит из полукруга и квадрата со стороной а=10 см. Определить …………………………..относительно главных осей, проходящих через точку О.

Ответ:

 

Задача 5.

Определить ……………………….. сечения и его моменты инерции Iх и Iу относительно центральных осей при а=10см.

 

Задача 6.

Определить ……………………….. сечения и его моменты инерции Iх и Iу относительно центральных осей при а=10 см.

 

Задача 7.

Определить ……………………………. и его моменты инерции Iх и Iу относительно центральных осей при а=10 см.

 

Задача 8.

Определить ………………………….. и его моменты инерции Iх и Iу относительно центральных осей при а=10 см.

 

Задача 9.

Определить …………………………… и его моменты инерции Iх и Iу относительно центральных осей при а=10 см.

 

Задача 10.

Определить ……………………………. и его моменты инерции Iх и Iу относительно центральных осей при а=10 см.

 

Задача 11.

Определить …………………………….. и его моменты инерции Iх и Iу относительно центральных осей при а=10 см.

 

Задача 12.

Определить ……………………………. и его моменты инерции Iх и Iу о